Cálculo Ejemplos

$\frac{4 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$

Paso 1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 1 + \sin (x)$ .

$4 \frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$4 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$4 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 4.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 4.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$4 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 5

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$4 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 6

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$4 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 7

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$4 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 9

Suma $1$ y $1$ .

$4 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 10

Combina $4$ y $\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$ .

$\frac{4 ((1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (1 (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (1 (- \sin (x))) + 4 (\sin (x) (- \sin (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 11.3

Simplifica el numerador.

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Paso 11.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.3.1.1

Multiplica $- \sin (x)$ por $1$ .

$\frac{4 (- \sin (x)) + 4 (\sin (x) (- \sin (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 11.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (\sin (x) (- \sin (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 11.3.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (- \sin (x) \sin (x)) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 11.3.1.4

Multiplica $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Paso 11.3.1.4.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (- (\sin^{1} (x) \sin (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 11.3.1.4.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 11.3.1.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (- {\sin (x)}^{1 + 1}) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 11.3.1.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (- \sin^{2} (x)) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 11.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 11.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 11.3.2

Factoriza $- 4$ de $- 4 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 4 \sin (x) - 4 (\sin^{2} (x)) - 4 \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 11.3.3

Factoriza $- 4$ de $- 4 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 4 \sin (x) - 4 (\sin^{2} (x)) - 4 (\cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 11.3.4

Factoriza $- 4$ de $- 4 (\sin^{2} (x)) - 4 (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{- 4 \sin (x) - 4 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 11.3.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{- 4 \sin (x) - 4 \cdot 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 11.3.6

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$\frac{- 4 \sin (x) - 4}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 11.4

Reordena los términos.

$\frac{- 4 - 4 \sin (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 11.5

Factoriza $- 4$ de $- 4 - 4 \sin (x)$ .

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Paso 11.5.1

Factoriza $- 4$ de $- 4$ .

$\frac{- 4 (1) - 4 \sin (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 11.5.2

Factoriza $- 4$ de $- 4 \sin (x)$ .

$\frac{- 4 (1) - 4 (\sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 11.5.3

Factoriza $- 4$ de $- 4 (1) - 4 (\sin (x))$ .

$\frac{- 4 (1 + \sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 11.6

Cancela el factor común de $1 + \sin (x)$ y ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

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Paso 11.6.1

Factoriza $1 + \sin (x)$ de $- 4 (1 + \sin (x))$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 4}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 11.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.6.2.1

Factoriza $1 + \sin (x)$ de ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 4}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Paso 11.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 4}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Paso 11.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 4}{1 + \sin (x)}$

Paso 11.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4}{1 + \sin (x)}$