Cálculo Ejemplos

$\frac{6 x}{9 - \tan (x)}$

Paso 1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{6 x}{9 - \tan (x)}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{9 - \tan (x)}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{9 - \tan (x)}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 9 - \tan (x)$ .

$6 \frac{(9 - \tan (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [9 - \tan (x)]}{{(9 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \frac{(9 - \tan (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [9 - \tan (x)]}{{(9 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 3.2

Multiplica $9 - \tan (x)$ por $1$ .

$6 \frac{9 - \tan (x) - x \frac{d}{d x} [9 - \tan (x)]}{{(9 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $9 - \tan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$6 \frac{9 - \tan (x) - x (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)])}{{(9 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 3.4

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 \frac{9 - \tan (x) - x (0 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)])}{{(9 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$6 \frac{9 - \tan (x) - x \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}{{(9 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 3.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \tan (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$6 \frac{9 - \tan (x) - x (- \frac{d}{d x} [\tan (x)])}{{(9 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 3.7

Multiplica.

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Paso 3.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$6 \frac{9 - \tan (x) + 1 x \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{{(9 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 3.7.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$6 \frac{9 - \tan (x) + x \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{{(9 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 4

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$6 \frac{9 - \tan (x) + x \sec^{2} (x)}{{(9 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 5

Combina $6$ y $\frac{9 - \tan (x) + x \sec^{2} (x)}{{(9 - \tan (x))}^{2}}$ .

$\frac{6 (9 - \tan (x) + x \sec^{2} (x))}{{(9 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 \cdot 9 + 6 (- \tan (x)) + 6 (x \sec^{2} (x))}{{(9 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1

Multiplica $6$ por $9$ .

$\frac{54 + 6 (- \tan (x)) + 6 (x \sec^{2} (x))}{{(9 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 6.2.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{54 - 6 \tan (x) + 6 x \sec^{2} (x)}{{(9 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 6.3

Reordena los términos.

$\frac{6 x \sec^{2} (x) + 54 - 6 \tan (x)}{{(9 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 6.4

Factoriza $6$ de $6 x \sec^{2} (x) + 54 - 6 \tan (x)$ .

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Paso 6.4.1

Factoriza $6$ de $6 x \sec^{2} (x)$ .

$\frac{6 (x \sec^{2} (x)) + 54 - 6 \tan (x)}{{(9 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 6.4.2

Factoriza $6$ de $54$ .

$\frac{6 (x \sec^{2} (x)) + 6 (9) - 6 \tan (x)}{{(9 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 6.4.3

Factoriza $6$ de $- 6 \tan (x)$ .

$\frac{6 (x \sec^{2} (x)) + 6 (9) + 6 (- \tan (x))}{{(9 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 6.4.4

Factoriza $6$ de $6 (x \sec^{2} (x)) + 6 (9)$ .

$\frac{6 (x \sec^{2} (x) + 9) + 6 (- \tan (x))}{{(9 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 6.4.5

Factoriza $6$ de $6 (x \sec^{2} (x) + 9) + 6 (- \tan (x))$ .

$\frac{6 (x \sec^{2} (x) + 9 - \tan (x))}{{(9 - \tan (x))}^{2}}$