Cálculo Ejemplos

$\frac{7 x^{2} + 5 x^{9}}{4 x^{7}}$

Paso 1

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{7 x^{2} + 5 x^{9}}{4 x^{7}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{7 x^{2} + 5 x^{9}}{x^{7}}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{7 x^{2} + 5 x^{9}}{x^{7}}]$

Paso 2

Factoriza $x^{2}$ de $7 x^{2} + 5 x^{9}$ .

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Paso 2.1

Factoriza $x^{2}$ de $7 x^{2}$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \cdot 7 + 5 x^{9}}{x^{7}}]$

Paso 2.2

Factoriza $x^{2}$ de $5 x^{9}$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \cdot 7 + x^{2} (5 x^{7})}{x^{7}}]$

Paso 2.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} \cdot 7 + x^{2} (5 x^{7})$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (7 + 5 x^{7})}{x^{7}}]$

Paso 3

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{7}$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (7 + 5 x^{7})}{x^{2} x^{5}}]$

Paso 3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (7 + 5 x^{7})}{x^{2} x^{5}}]$

Paso 3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{7 + 5 x^{7}}{x^{5}}]$

Paso 4

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 7 + 5 x^{7}$ y $g (x) = x^{5}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [7 + 5 x^{7}] - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{2}$ .

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Paso 5.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [7 + 5 x^{7}] - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Paso 5.1.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [7 + 5 x^{7}] - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 5.2

Según la regla de la suma, la derivada de $7 + 5 x^{7}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [5 x^{7}]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{5} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [5 x^{7}]) - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 5.3

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{5} (0 + \frac{d}{d x} [5 x^{7}]) - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 5.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [5 x^{7}]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [5 x^{7}] - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 5.5

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{7}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{5} (5 \frac{d}{d x} [x^{7}]) - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 5.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{5} (5 (7 x^{6})) - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 5.7

Multiplica $7$ por $5$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{5} (35 x^{6}) - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 6

Multiplica $x^{5}$ por $x^{6}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1

Mueve $x^{6}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{6} x^{5} \cdot 35 - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 6.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{6 + 5} \cdot 35 - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 6.3

Suma $6$ y $5$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{11} \cdot 35 - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 7

Mueve $35$ a la izquierda de $x^{11}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{35 \cdot x^{11} - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{35 x^{11} - (7 + 5 x^{7}) (5 x^{4})}{x^{10}}$

Paso 9

Combina fracciones.

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Paso 9.1

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{35 x^{11} - 5 (7 + 5 x^{7}) x^{4}}{x^{10}}$

Paso 9.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{35 x^{11} - 5 (7 + 5 x^{7}) x^{4}}{x^{10}}$ .

$\frac{35 x^{11} - 5 (7 + 5 x^{7}) x^{4}}{4 x^{10}}$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{35 x^{11} + (- 5 \cdot 7 - 5 (5 x^{7})) x^{4}}{4 x^{10}}$

Paso 10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{35 x^{11} - 5 \cdot 7 x^{4} - 5 (5 x^{7}) x^{4}}{4 x^{10}}$

Paso 10.3

Simplifica el numerador.

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Paso 10.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.3.1.1

Multiplica $- 5$ por $7$ .

$\frac{35 x^{11} - 35 x^{4} - 5 (5 x^{7}) x^{4}}{4 x^{10}}$

Paso 10.3.1.2

Multiplica $x^{7}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 10.3.1.2.1

Mueve $x^{4}$ .

$\frac{35 x^{11} - 35 x^{4} - 5 (5 (x^{4} x^{7}))}{4 x^{10}}$

Paso 10.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{35 x^{11} - 35 x^{4} - 5 (5 x^{4 + 7})}{4 x^{10}}$

Paso 10.3.1.2.3

Suma $4$ y $7$ .

$\frac{35 x^{11} - 35 x^{4} - 5 (5 x^{11})}{4 x^{10}}$

Paso 10.3.1.3

Multiplica $5$ por $- 5$ .

$\frac{35 x^{11} - 35 x^{4} - 25 x^{11}}{4 x^{10}}$

Paso 10.3.2

Resta $25 x^{11}$ de $35 x^{11}$ .

$\frac{10 x^{11} - 35 x^{4}}{4 x^{10}}$

Paso 10.4

Factoriza $5 x^{4}$ de $10 x^{11} - 35 x^{4}$ .

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Paso 10.4.1

Factoriza $5 x^{4}$ de $10 x^{11}$ .

$\frac{5 x^{4} (2 x^{7}) - 35 x^{4}}{4 x^{10}}$

Paso 10.4.2

Factoriza $5 x^{4}$ de $- 35 x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4} (2 x^{7}) + 5 x^{4} (- 7)}{4 x^{10}}$

Paso 10.4.3

Factoriza $5 x^{4}$ de $5 x^{4} (2 x^{7}) + 5 x^{4} (- 7)$ .

$\frac{5 x^{4} (2 x^{7} - 7)}{4 x^{10}}$

Paso 10.5

Cancela el factor común de $x^{4}$ y $x^{10}$ .

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Paso 10.5.1

Factoriza $x^{4}$ de $5 x^{4} (2 x^{7} - 7)$ .

$\frac{x^{4} (5 (2 x^{7} - 7))}{4 x^{10}}$

Paso 10.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.5.2.1

Factoriza $x^{4}$ de $4 x^{10}$ .

$\frac{x^{4} (5 (2 x^{7} - 7))}{x^{4} (4 x^{6})}$

Paso 10.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{4} (5 (2 x^{7} - 7))}{x^{4} (4 x^{6})}$

Paso 10.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5 (2 x^{7} - 7)}{4 x^{6}}$