Cálculo Ejemplos

$\frac{- 6 x}{\sin (x) + \cos (x)}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d}{d x} [- \frac{6 x}{\sin (x) + \cos (x)}]$

Paso 1.2

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{6 x}{\sin (x) + \cos (x)}$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\sin (x) + \cos (x)}]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\sin (x) + \cos (x)}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

$- 6 \frac{(\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 6 \frac{(\sin (x) + \cos (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.2

Multiplica $\sin (x) + \cos (x)$ por $1$ .

$- 6 \frac{\sin (x) + \cos (x) - x \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (x) + \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 6 \frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 4

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$- 6 \frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 5

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- 6 \frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 6

Combina fracciones.

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Paso 6.1

Combina $- 6$ y $\frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$ .

$\frac{- 6 (\sin (x) + \cos (x) - x (\cos (x) - \sin (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{6 (\sin (x) + \cos (x) - x (\cos (x) - \sin (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{6 (\sin (x) + \cos (x) - x \cos (x) - x (- \sin (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{6 \sin (x) + 6 \cos (x) + 6 (- x \cos (x)) + 6 (- x (- \sin (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 7.3

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$- \frac{6 \sin (x) + 6 \cos (x) - 6 (x \cos (x)) + 6 (- x (- \sin (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 7.3.2

Multiplica $- x (- \sin (x))$ .

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Paso 7.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{6 \sin (x) + 6 \cos (x) - 6 x \cos (x) + 6 (1 x \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 7.3.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$- \frac{6 \sin (x) + 6 \cos (x) - 6 x \cos (x) + 6 (x \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

$- \frac{6 \sin (x) + 6 \cos (x) - 6 x \cos (x) + 6 x \sin (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 7.4

Factoriza $6$ de $6 \sin (x) + 6 \cos (x) - 6 x \cos (x) + 6 x \sin (x)$ .

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Paso 7.4.1

Factoriza $6$ de $6 \sin (x)$ .

$- \frac{6 (\sin (x)) + 6 \cos (x) - 6 x \cos (x) + 6 x \sin (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 7.4.2

Factoriza $6$ de $6 \cos (x)$ .

$- \frac{6 (\sin (x)) + 6 (\cos (x)) - 6 x \cos (x) + 6 x \sin (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 7.4.3

Factoriza $6$ de $- 6 x \cos (x)$ .

$- \frac{6 (\sin (x)) + 6 (\cos (x)) + 6 (- x \cos (x)) + 6 x \sin (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 7.4.4

Factoriza $6$ de $6 x \sin (x)$ .

$- \frac{6 (\sin (x)) + 6 (\cos (x)) + 6 (- x \cos (x)) + 6 (x \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 7.4.5

Factoriza $6$ de $6 (\sin (x)) + 6 (\cos (x))$ .

$- \frac{6 (\sin (x) + \cos (x)) + 6 (- x \cos (x)) + 6 (x \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 7.4.6

Factoriza $6$ de $6 (\sin (x) + \cos (x)) + 6 (- x \cos (x))$ .

$- \frac{6 (\sin (x) + \cos (x) - x \cos (x)) + 6 (x \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 7.4.7

Factoriza $6$ de $6 (\sin (x) + \cos (x) - x \cos (x)) + 6 (x \sin (x))$ .

$- \frac{6 (\sin (x) + \cos (x) - x \cos (x) + x \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$