Cálculo Ejemplos

$\frac{5 + 6 x - 5 x^{2}}{x}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 5 + 6 x - 5 x^{2}$ y $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [5 + 6 x - 5 x^{2}] - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 + 6 x - 5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x (0 + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.4

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.6

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{x (6 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.7

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (6 - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x (6 - 5 (2 x)) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.9

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$\frac{x (6 - 10 x) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x (6 - 10 x) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 2.11

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x (6 - 10 x) - (5 + 6 x - 5 x^{2})}{x^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot 6 + x (- 10 x) - (5 + 6 x - 5 x^{2})}{x^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot 6 + x (- 10 x) - 1 \cdot 5 - (6 x) - (- 5 x^{2})}{x^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Mueve $6$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{6 \cdot x + x (- 10 x) - 1 \cdot 5 - (6 x) - (- 5 x^{2})}{x^{2}}$

Paso 3.3.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{6 x - 10 x \cdot x - 1 \cdot 5 - (6 x) - (- 5 x^{2})}{x^{2}}$

Paso 3.3.1.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.3.1

Mueve $x$ .

$\frac{6 x - 10 (x \cdot x) - 1 \cdot 5 - (6 x) - (- 5 x^{2})}{x^{2}}$

Paso 3.3.1.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{6 x - 10 x^{2} - 1 \cdot 5 - (6 x) - (- 5 x^{2})}{x^{2}}$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{6 x - 10 x^{2} - 5 - (6 x) - (- 5 x^{2})}{x^{2}}$

Paso 3.3.1.5

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\frac{6 x - 10 x^{2} - 5 - 6 x - (- 5 x^{2})}{x^{2}}$

Paso 3.3.1.6

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$\frac{6 x - 10 x^{2} - 5 - 6 x + 5 x^{2}}{x^{2}}$

Paso 3.3.2

Combina los términos opuestos en $6 x - 10 x^{2} - 5 - 6 x + 5 x^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1

Resta $6 x$ de $6 x$ .

$\frac{- 10 x^{2} - 5 + 0 + 5 x^{2}}{x^{2}}$

Paso 3.3.2.2

Suma $- 10 x^{2} - 5$ y $0$ .

$\frac{- 10 x^{2} - 5 + 5 x^{2}}{x^{2}}$

Paso 3.3.3

Suma $- 10 x^{2}$ y $5 x^{2}$ .

$\frac{- 5 x^{2} - 5}{x^{2}}$

Paso 3.4

Factoriza $5$ de $- 5 x^{2} - 5$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $5$ de $- 5 x^{2}$ .

$\frac{5 (- x^{2}) - 5}{x^{2}}$

Paso 3.4.2

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$\frac{5 (- x^{2}) + 5 (- 1)}{x^{2}}$

Paso 3.4.3

Factoriza $5$ de $5 (- x^{2}) + 5 (- 1)$ .

$\frac{5 (- x^{2} - 1)}{x^{2}}$

Paso 3.5

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{5 (- (x^{2}) - 1)}{x^{2}}$

Paso 3.6

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{5 (- (x^{2}) - 1 (1))}{x^{2}}$

Paso 3.7

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (1)$ .

$\frac{5 (- (x^{2} + 1))}{x^{2}}$

Paso 3.8

Reescribe $- (x^{2} + 1)$ como $- 1 (x^{2} + 1)$ .

$\frac{5 (- 1 (x^{2} + 1))}{x^{2}}$

Paso 3.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$