Cálculo Ejemplos

$\frac{6 x^{2}}{{(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{6 x^{2}}{{(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}}}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}}$ .

$6 \frac{{(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}}]}{{({(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.1

Multiplica los exponentes en ${({(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{{(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}}]}{{(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.2.1

Cancela el factor común.

$6 \frac{{(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}}]}{{(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$6 \frac{{(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}}]}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 \frac{{(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}}]}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 3.3

Mueve $2$ a la izquierda de ${(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}}$ .

$6 \frac{2 \cdot {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}}]}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ y $g (x) = 2 x^{3} + 7$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x^{3} + 7$ .

$6 \frac{2 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7])}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$6 \frac{2 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} x - x^{2} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7])}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x^{3} + 7$ .

$6 \frac{2 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} x - x^{2} (\frac{3}{2} {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7])}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$6 \frac{2 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} x - x^{2} (\frac{3}{2} {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7])}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$6 \frac{2 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} x - x^{2} (\frac{3}{2} {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7])}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$6 \frac{2 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} x - x^{2} (\frac{3}{2} {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7])}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$6 \frac{2 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} x - x^{2} (\frac{3}{2} {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7])}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 8.2

Resta $2$ de $3$ .

$6 \frac{2 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} x - x^{2} (\frac{3}{2} {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7])}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 9

Combina fracciones.

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Paso 9.1

Combina $\frac{3}{2}$ y ${(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \frac{2 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} x - x^{2} (\frac{3 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7])}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 9.2

Combina $\frac{3 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ y $x^{2}$ .

$6 \frac{2 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} x - \frac{3 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7]}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 10

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$6 \frac{2 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} x - \frac{3 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 11

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 \frac{2 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} x - \frac{3 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$6 \frac{2 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} x - \frac{3 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 13

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 \frac{2 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} x - \frac{3 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 14

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 \frac{2 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} x - \frac{3 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} (6 x^{2} + 0)}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 15

Combina fracciones.

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Paso 15.1

Suma $6 x^{2}$ y $0$ .

$6 \frac{2 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} x - \frac{3 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} (6 x^{2})}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 15.2

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$6 \frac{2 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} x - 6 \frac{3 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} x^{2}}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 15.3

Combina $- 6$ y $\frac{3 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2}$ .

$6 \frac{2 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} x + \frac{- 6 (3 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} x^{2}}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 15.4

Multiplica $3$ por $- 6$ .

$6 \frac{2 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} x + \frac{- 18 ({(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} x^{2}}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 15.5

Combina $\frac{- 18 ({(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2}$ y $x^{2}$ .

$6 \frac{2 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} x + \frac{- 18 ({(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}) x^{2}}{2}}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 16

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 16.1

Mueve $x^{2}$ .

$6 \frac{2 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} x + \frac{- 18 ({(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} x^{2}))}{2}}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 16.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 \frac{2 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} x + \frac{- 18 ({(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2 + 2})}{2}}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 16.3

Suma $2$ y $2$ .

$6 \frac{2 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} x + \frac{- 18 ({(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{4})}{2}}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 17

Factoriza $2$ de $- 18 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{4}$ .

$6 \frac{2 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} x + \frac{2 (- 9 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{4})}{2}}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 18

Cancela los factores comunes.

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Paso 18.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$6 \frac{2 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} x + \frac{2 (- 9 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{4})}{2 (1)}}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 18.2

Cancela el factor común.

$6 \frac{2 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} x + \frac{2 (- 9 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{4})}{2 \cdot 1}}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 18.3

Reescribe la expresión.

$6 \frac{2 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} x + \frac{- 9 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{4}}{1}}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 18.4

Divide $- 9 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{4}$ por $1$ .

$6 \frac{2 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} x - 9 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{4}}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 19

Combina $6$ y $\frac{2 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} x - 9 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{4}}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$ .

$\frac{6 (2 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} x - 9 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{4})}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 20

Simplifica.

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Paso 20.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 (2 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} x) + 6 (- 9 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{4})}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 20.2

Simplifica el numerador.

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Paso 20.2.1

Multiplica $2$ por $6$ .

$\frac{12 ({(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} x) + 6 (- 9 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{4})}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 20.2.2

Multiplica $- 9$ por $6$ .

$\frac{12 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} x - 54 ({(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{4})}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 20.2.3

Reescribe $12 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} x - 54 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{4}$ en forma factorizada.

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Paso 20.2.3.1

Factoriza $6 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x$ de $12 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} x - 54 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{4}$ .

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Paso 20.2.3.1.1

Reordena la expresión.

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Paso 20.2.3.1.1.1

Mueve ${(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{12 x {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} - 54 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{4}}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 20.2.3.1.1.2

Mueve ${(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 x {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}} - 54 x^{4} {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 20.2.3.1.2

Factoriza $6 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x$ de $12 x {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{6 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x (2 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{2}{2}}) - 54 x^{4} {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 20.2.3.1.3

Factoriza $6 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x$ de $- 54 x^{4} {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x (2 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{2}{2}}) + 6 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x (- 9 x^{3})}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 20.2.3.1.4

Factoriza $6 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x$ de $6 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x (2 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{2}{2}}) + 6 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x (- 9 x^{3})$ .

$\frac{6 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x (2 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{2}{2}} - 9 x^{3})}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 20.2.3.2

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{6 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x (2 {(2 x^{3} + 7)}^{1} - 9 x^{3})}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 20.2.3.3

Simplifica.

$\frac{6 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x (2 (2 x^{3} + 7) - 9 x^{3})}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 20.2.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x (2 (2 x^{3}) + 2 \cdot 7 - 9 x^{3})}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 20.2.3.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{6 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x (4 x^{3} + 2 \cdot 7 - 9 x^{3})}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 20.2.3.6

Multiplica $2$ por $7$ .

$\frac{6 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x (4 x^{3} + 14 - 9 x^{3})}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 20.2.3.7

Resta $9 x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{6 {(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x (- 5 x^{3} + 14)}{{(2 x^{3} + 7)}^{3}}$

Paso 20.3

Combina los términos.

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Paso 20.3.1

Mueve ${(2 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{6 x (- 5 x^{3} + 14)}{{(2 x^{3} + 7)}^{3} {(2 x^{3} + 7)}^{- \frac{1}{2}}}$

Paso 20.3.2

Multiplica ${(2 x^{3} + 7)}^{3}$ por ${(2 x^{3} + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 20.3.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{6 x (- 5 x^{3} + 14)}{{(2 x^{3} + 7)}^{3 - \frac{1}{2}}}$

Paso 20.3.2.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{6 x (- 5 x^{3} + 14)}{{(2 x^{3} + 7)}^{3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}$

Paso 20.3.2.3

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{6 x (- 5 x^{3} + 14)}{{(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}$

Paso 20.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{6 x (- 5 x^{3} + 14)}{{(2 x^{3} + 7)}^{\frac{3 \cdot 2 - 1}{2}}}$

Paso 20.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 20.3.2.5.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 x (- 5 x^{3} + 14)}{{(2 x^{3} + 7)}^{\frac{6 - 1}{2}}}$

Paso 20.3.2.5.2

Resta $1$ de $6$ .

$\frac{6 x (- 5 x^{3} + 14)}{{(2 x^{3} + 7)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 20.4

Factoriza $- 1$ de $- 5 x^{3}$ .

$\frac{6 x (- (5 x^{3}) + 14)}{{(2 x^{3} + 7)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 20.5

Reescribe $14$ como $- 1 (- 14)$ .

$\frac{6 x (- (5 x^{3}) - 1 (- 14))}{{(2 x^{3} + 7)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 20.6

Factoriza $- 1$ de $- (5 x^{3}) - 1 (- 14)$ .

$\frac{6 x (- (5 x^{3} - 14))}{{(2 x^{3} + 7)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 20.7

Reescribe $- (5 x^{3} - 14)$ como $- 1 (5 x^{3} - 14)$ .

$\frac{6 x (- 1 (5 x^{3} - 14))}{{(2 x^{3} + 7)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 20.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(6 x) (5 x^{3} - 14)}{{(2 x^{3} + 7)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 20.9

Reordena los factores en $- \frac{(6 x) (5 x^{3} - 14)}{{(2 x^{3} + 7)}^{\frac{5}{2}}}$ .

$- \frac{6 x (5 x^{3} - 14)}{{(2 x^{3} + 7)}^{\frac{5}{2}}}$