Cálculo Ejemplos

$\frac{5 x}{\sec (5 x)}$

Paso 1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5 x}{\sec (5 x)}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\sec (5 x)}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\sec (5 x)}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \sec (5 x)$ .

$5 \frac{\sec (5 x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\sec (5 x)]}{\sec^{2} (5 x)}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \frac{\sec (5 x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\sec (5 x)]}{\sec^{2} (5 x)}$

Paso 3.2

Multiplica $\sec (5 x)$ por $1$ .

$5 \frac{\sec (5 x) - x \frac{d}{d x} [\sec (5 x)]}{\sec^{2} (5 x)}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x$ .

$5 \frac{\sec (5 x) - x (\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [5 x])}{\sec^{2} (5 x)}$

Paso 4.2

La derivada de $\sec (u)$ con respecto a $u$ es $\sec (u) \tan (u)$ .

$5 \frac{\sec (5 x) - x (\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [5 x])}{\sec^{2} (5 x)}$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x$ .

$5 \frac{\sec (5 x) - x (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}{\sec^{2} (5 x)}$

Paso 5

Factoriza $\sec (5 x)$ de $\sec (5 x) - x (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$ .

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Paso 5.1

Multiplica por $1$ .

$5 \frac{\sec (5 x) \cdot 1 - x (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}{\sec^{2} (5 x)}$

Paso 5.2

Factoriza $\sec (5 x)$ de $- x (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$ .

$5 \frac{\sec (5 x) \cdot 1 + \sec (5 x) (- x (\tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))}{\sec^{2} (5 x)}$

Paso 5.3

Factoriza $\sec (5 x)$ de $\sec (5 x) \cdot 1 + \sec (5 x) (- x (\tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$ .

$5 \frac{\sec (5 x) (1 - x (\tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))}{\sec^{2} (5 x)}$

Paso 6

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1

Factoriza $\sec (5 x)$ de $\sec^{2} (5 x)$ .

$5 \frac{\sec (5 x) (1 - x (\tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))}{\sec (5 x) \sec (5 x)}$

Paso 6.2

Cancela el factor común.

$5 \frac{\sec (5 x) (1 - x (\tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))}{\sec (5 x) \sec (5 x)}$

Paso 6.3

Reescribe la expresión.

$5 \frac{1 - x (\tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}{\sec (5 x)}$

Paso 7

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{1 - x (\tan (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))}{\sec (5 x)}$

Paso 8

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$5 \frac{1 - 5 x (\tan (5 x) (\frac{d}{d x} [x]))}{\sec (5 x)}$

Paso 9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \frac{1 - 5 x (\tan (5 x) \cdot 1)}{\sec (5 x)}$

Paso 10

Combina fracciones.

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Paso 10.1

Multiplica $\tan (5 x)$ por $1$ .

$5 \frac{1 - 5 x \tan (5 x)}{\sec (5 x)}$

Paso 10.2

Combina $5$ y $\frac{1 - 5 x \tan (5 x)}{\sec (5 x)}$ .

$\frac{5 (1 - 5 x \tan (5 x))}{\sec (5 x)}$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- 5 x \tan (5 x))}{\sec (5 x)}$

Paso 11.2

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{5 + 5 (- 5 x \tan (5 x))}{\sec (5 x)}$

Paso 11.2.2

Multiplica $- 5$ por $5$ .

$\frac{5 - 25 x \tan (5 x)}{\sec (5 x)}$

Paso 11.3

Reordena los términos.

$\frac{- 25 x \tan (5 x) + 5}{\sec (5 x)}$