Cálculo Ejemplos

$5^{6 - x^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = 5^{x}$ y $g (x) = 6 - x^{2}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [5^{u}] \frac{d}{d x} [6 - x^{2}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $5$ .

$5^{u} \ln (5) \frac{d}{d x} [6 - x^{2}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 - x^{2}$ .

$5^{6 - x^{2}} \ln (5) \frac{d}{d x} [6 - x^{2}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$5^{6 - x^{2}} \ln (5) (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 2.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5^{6 - x^{2}} \ln (5) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$5^{6 - x^{2}} \ln (5) \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5^{6 - x^{2}} \ln (5) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5^{6 - x^{2}} \ln (5) (- (2 x))$

Paso 2.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$5^{6 - x^{2}} \ln (5) (- 2 x)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reordena los factores de $5^{6 - x^{2}} \ln (5) (- 2 x)$ .

$- 2 \cdot 5^{6 - x^{2}} x \ln (5)$

Paso 3.2

Reordena los factores en $- 2 \cdot 5^{6 - x^{2}} x \ln (5)$ .

$- 2 x \cdot 5^{6 - x^{2}} \ln (5)$