Cálculo Ejemplos

$\frac{5 x y}{y^{2} + 2 x}$

Paso 1

Como $5 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5 x y}{y^{2} + 2 x}$ con respecto a $x$ es $5 y \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{2} + 2 x}]$ .

$5 y \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{2} + 2 x}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y^{2} + 2 x$ .

$5 y \frac{(y^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y^{2} + 2 x]}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 y \frac{(y^{2} + 2 x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y^{2} + 2 x]}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.2

Multiplica $y^{2} + 2 x$ por $1$ .

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - x \frac{d}{d x} [y^{2} + 2 x]}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - x (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x])}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.4

Como $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - x (0 + \frac{d}{d x} [2 x])}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - x \frac{d}{d x} [2 x]}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.6

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - x (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - 2 x \frac{d}{d x} [x]}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - 2 x \cdot 1}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.9

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.9.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - 2 x}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.9.2

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$5 y \frac{y^{2} + 0}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.9.3

Suma $y^{2}$ y $0$ .

$5 y \frac{y^{2}}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.9.4

Combina $5$ y $\frac{y^{2}}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$ .

$y \frac{5 y^{2}}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.9.5

Combina $y$ y $\frac{5 y^{2}}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$ .

$\frac{y (5 y^{2})}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Paso 4

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5 (y^{1} y^{2})}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Paso 5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{5 y^{1 + 2}}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Paso 6

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{5 y^{3}}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$