Cálculo Ejemplos

$\frac{5 x}{2^{x}}$

Paso 1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5 x}{2^{x}}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{2^{x}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{2^{x}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 2^{x}$ .

$5 \frac{2^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{{(2^{x})}^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.1

Multiplica los exponentes en ${(2^{x})}^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \frac{2^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{x \cdot 2}}$

Paso 3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$5 \frac{2^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{2 x}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \frac{2^{x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{2 x}}$

Paso 3.3

Multiplica $2^{x}$ por $1$ .

$5 \frac{2^{x} - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{2 x}}$

Paso 4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $2$ .

$5 \frac{2^{x} - x (2^{x} \ln (2))}{2^{2 x}}$

Paso 5

Combina $5$ y $\frac{2^{x} - x (2^{x} \ln (2))}{2^{2 x}}$ .

$\frac{5 (2^{x} - x (2^{x} \ln (2)))}{2^{2 x}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 \cdot 2^{x} + 5 (- x (2^{x} \ln (2)))}{2^{2 x}}$

Paso 6.2

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $5 (- x (2^{x} \ln (2)))$ .

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Paso 6.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{5 \cdot 2^{x} - 5 (x (2^{x} \ln (2)))}{2^{2 x}}$

Paso 6.2.1.1.2

Simplifica $- 5 \ln (2)$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$\frac{5 \cdot 2^{x} + x (2^{x} (- \ln (2^{5})))}{2^{2 x}}$

Paso 6.2.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{5 \cdot 2^{x} - \ln (2^{5}) x \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

Paso 6.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$\frac{5 \cdot 2^{x} - \ln (32) x \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

Paso 6.2.2

Reordena los factores en $5 \cdot 2^{x} - \ln (32) x \cdot 2^{x}$ .

$\frac{5 \cdot 2^{x} - x \cdot 2^{x} \ln (32)}{2^{2 x}}$

Paso 6.3

Reordena los términos.

$\frac{- 2^{x} x \ln (32) + 5 \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

Paso 6.4

Factoriza $2^{x}$ de $- 2^{x} x \ln (32) + 5 \cdot 2^{x}$ .

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Paso 6.4.1

Factoriza $2^{x}$ de $- 2^{x} x \ln (32)$ .

$\frac{2^{x} (- x \ln (32)) + 5 \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

Paso 6.4.2

Factoriza $2^{x}$ de $5 \cdot 2^{x}$ .

$\frac{2^{x} (- x \ln (32)) + 2^{x} \cdot 5}{2^{2 x}}$

Paso 6.4.3

Factoriza $2^{x}$ de $2^{x} (- x \ln (32)) + 2^{x} \cdot 5$ .

$\frac{2^{x} (- x \ln (32) + 5)}{2^{2 x}}$

Paso 6.5

Cancela el factor común de $2^{x}$ y $2^{2 x}$ .

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Paso 6.5.1

Factoriza $2^{2 x}$ de $2^{x} (- x \ln (32) + 5)$ .

$\frac{2^{2 x} (2^{- x} (- x \ln (32) + 5))}{2^{2 x}}$

Paso 6.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.5.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{2^{2 x} (2^{- x} (- x \ln (32) + 5))}{2^{2 x} \cdot 1}$

Paso 6.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2^{2 x} (2^{- x} (- x \ln (32) + 5))}{2^{2 x} \cdot 1}$

Paso 6.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2^{- x} (- x \ln (32) + 5)}{1}$

Paso 6.5.2.4

Divide $2^{- x} (- x \ln (32) + 5)$ por $1$ .

$2^{- x} (- x \ln (32) + 5)$

Paso 6.6

Aplica la propiedad distributiva.

$2^{- x} (- x \ln (32)) + 2^{- x} \cdot 5$

Paso 6.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \ln (32) \cdot 2^{- x} x + 2^{- x} \cdot 5$

Paso 6.8

Mueve $5$ a la izquierda de $2^{- x}$ .

$- \ln (32) \cdot 2^{- x} x + 5 \cdot 2^{- x}$

Paso 6.9

Reordena los factores en $- \ln (32) \cdot 2^{- x} x + 5 \cdot 2^{- x}$ .

$- x \cdot 2^{- x} \ln (32) + 5 \cdot 2^{- x}$