Cálculo Ejemplos

$e^{\sqrt{\sin (x)}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\sin (x)}$ como ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\sin (x)$ .

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sin (x)$ .

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 8

Combina fracciones.

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Paso 8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${\sin (x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{\sin (x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 8.3

Mueve ${\sin (x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 8.4

Combina $\frac{1}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}$ y $e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 9

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\frac{e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} \cos (x)$

Paso 10

Combina $\frac{e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}$ y $\cos (x)$ .

$\frac{e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} \cos (x)}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}$