Cálculo Ejemplos

$e^{4 x \ln (x^{3})}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 4 x \ln (x^{3})$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $4 x \ln (x^{3})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x \ln (x^{3})]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x \ln (x^{3})]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $4 x \ln (x^{3})$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} \frac{d}{d x} [4 x \ln (x^{3})]$

Paso 2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x \ln (x^{3})$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{3})]$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{3})])$

Paso 3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x^{3})$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{3}$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 4.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{3}$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (x (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{x^{3}}$ y $x$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{x}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{3}$ .

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Paso 5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{x^{1}}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 5.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{x \cdot 1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 5.2.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 5.2.3.2

Cancela el factor común.

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 5.2.3.3

Reescribe la expresión.

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{1}{x^{2}} (3 x^{2}) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 5.4

Simplifica los términos.

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Paso 5.4.1

Combina $3$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{3}{x^{2}} x^{2} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 5.4.2

Combina $\frac{3}{x^{2}}$ y $x^{2}$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 5.4.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 5.4.3.1

Cancela el factor común.

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 5.4.3.2

Divide $3$ por $1$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (3 + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 5.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (3 + \ln (x^{3}) \cdot 1))$

Paso 5.6

Multiplica $\ln (x^{3})$ por $1$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (3 + \ln (x^{3})))$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \cdot 3 + 4 \ln (x^{3}))$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \cdot 3) + e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \ln (x^{3}))$

Paso 6.3

Combina los términos.

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Paso 6.3.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} \cdot 12 + e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \ln (x^{3}))$

Paso 6.3.2

Mueve $12$ a la izquierda de $e^{4 x \ln (x^{3})}$ .

$12 e^{4 x \ln (x^{3})} + e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \ln (x^{3}))$

Paso 6.4

Reordena los términos.

$4 e^{4 x \ln (x^{3})} \ln (x^{3}) + 12 e^{4 x \ln (x^{3})}$