Cálculo Ejemplos

$e^{2 x} \sin (2 x) \cos (x)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{2 x} \sin (2 x)$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{2 x} \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x} \sin (2 x)]$

Paso 2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x} \sin (2 x)]$

Paso 3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{2 x}$ y $g (x) = \sin (2 x)$ .

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Paso 4.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Paso 5.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (\cos (2 x) \cdot 2) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Paso 5.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Paso 6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x$ .

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]))$

Paso 6.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]))$

Paso 6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]))$

Paso 7

Diferencia.

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Paso 7.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])))$

Paso 7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

Paso 7.3

Simplifica la expresión.

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Paso 7.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (e^{2 x} \cdot 2))$

Paso 7.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (2 \cdot e^{2 x}))$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \cos (2 x))) + \cos (x) (\sin (2 x) (2 e^{2 x}))$

Paso 8.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (x) e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) e^{2 x} \cos (2 x) + \cos (x) \sin (2 x) (2 e^{2 x})$

Paso 8.3

Reordena los términos.

$- e^{2 x} \sin (x) \sin (2 x) + 2 e^{2 x} \cos (x) \cos (2 x) + 2 e^{2 x} \cos (x) \sin (2 x)$