Cálculo Ejemplos

$e^{\frac{1}{9 x}}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \frac{1}{9 x}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{1}{9 x}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1}{9 x}$ .

$e^{\frac{1}{9 x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Como $\frac{1}{9}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{9 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$e^{\frac{1}{9 x}} (\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Paso 2.2

Combina fracciones.

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Paso 2.2.1

Combina $\frac{1}{9}$ y $e^{\frac{1}{9 x}}$ .

$\frac{e^{\frac{1}{9 x}}}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{e^{\frac{1}{9 x}}}{9} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{e^{\frac{1}{9 x}}}{9} (- x^{- 2})$

Paso 2.4

Combina fracciones.

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Paso 2.4.1

Combina $\frac{e^{\frac{1}{9 x}}}{9}$ y $x^{- 2}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{9 x}} x^{- 2}}{9}$

Paso 2.4.2

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{9 x}}}{9 x^{2}}$