Cálculo Ejemplos

$e^{- \frac{2}{x}}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - \frac{2}{x}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- \frac{2}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- \frac{2}{x}$ .

$e^{- \frac{2}{x}} \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2}{x}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$e^{- \frac{2}{x}} (- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$e^{- \frac{2}{x}} (- 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$e^{- \frac{2}{x}} (- 2 (- x^{- 2}))$

Paso 2.4

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$e^{- \frac{2}{x}} (2 x^{- 2})$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reordena los factores de $e^{- \frac{2}{x}} (2 x^{- 2})$ .

$2 e^{- \frac{2}{x}} x^{- 2}$

Paso 3.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 e^{- \frac{2}{x}} \frac{1}{x^{2}}$

Paso 3.3

Multiplica $2 e^{- \frac{2}{x}} \frac{1}{x^{2}}$ .

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Paso 3.3.1

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $2$ .

$\frac{2}{x^{2}} e^{- \frac{2}{x}}$

Paso 3.3.2

Combina $\frac{2}{x^{2}}$ y $e^{- \frac{2}{x}}$ .

$\frac{2 e^{- \frac{2}{x}}}{x^{2}}$