Cálculo Ejemplos

$arccsc (5 x^{2} + 1)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = arccsc (x)$ y $g (x) = 5 x^{2} + 1$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [arccsc (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 1]$

Paso 1.2

La derivada de $arccsc (u)$ con respecto a $u$ es $- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 1]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 1]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{1}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{1}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.4

Multiplica $2$ por $5$ .

$- \frac{1}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (10 x + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{1}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (10 x + 0)$

Paso 2.6

Combina fracciones.

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Paso 2.6.1

Suma $10 x$ y $0$ .

$- \frac{1}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (10 x)$

Paso 2.6.2

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$- 10 \frac{1}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}} x$

Paso 2.6.3

Combina $- 10$ y $\frac{1}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}}$ .

$\frac{- 10}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}} x$

Paso 2.6.4

Combina $\frac{- 10}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}}$ y $x$ .

$\frac{- 10 x}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}}$

Paso 2.6.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{10 x}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}}$