Cálculo Ejemplos

$\frac{\csc (4 x)}{2 e^{3 x}}$

Paso 1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{\csc (4 x)}{2 e^{3 x}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{\csc (4 x)}{e^{3 x}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{\csc (4 x)}{e^{3 x}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \csc (4 x)$ y $g (x) = e^{3 x}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [\csc (4 x)] - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{{(e^{3 x})}^{2}}$

Paso 3

Multiplica los exponentes en ${(e^{3 x})}^{2}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [\csc (4 x)] - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{3 x \cdot 2}}$

Paso 3.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [\csc (4 x)] - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \csc (x)$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $4 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]) - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Paso 4.2

La derivada de $\csc (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]) - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $4 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- \csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]) - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- \csc (4 x) \cot (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])) - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Paso 5.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} [x]) - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x) \cdot 1) - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Paso 5.4

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Paso 6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - \csc (4 x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Paso 6.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - \csc (4 x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Paso 6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - \csc (4 x) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Paso 7

Diferencia.

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Paso 7.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - \csc (4 x) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

Paso 7.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - 3 \csc (4 x) (e^{3 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

Paso 7.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - 3 \csc (4 x) (e^{3 x} \cdot 1)}{e^{6 x}}$

Paso 7.4

Combina fracciones.

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Paso 7.4.1

Multiplica $e^{3 x}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - 3 \csc (4 x) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Paso 7.4.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - 3 \csc (4 x) e^{3 x}}{e^{6 x}}$ .

$\frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - 3 \csc (4 x) e^{3 x}}{2 e^{6 x}}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- 4 e^{3 x} (\csc (4 x) \cot (4 x)) - 3 \csc (4 x) e^{3 x}}{2 e^{6 x}}$

Paso 8.1.2

Reordena los factores en $- 4 e^{3 x} (\csc (4 x) \cot (4 x)) - 3 \csc (4 x) e^{3 x}$ .

$\frac{- 4 e^{3 x} \csc (4 x) \cot (4 x) - 3 e^{3 x} \csc (4 x)}{2 e^{6 x}}$

Paso 8.2

Reordena los términos.

$\frac{- 4 e^{3 x} \cot (4 x) \csc (4 x) - 3 e^{3 x} \csc (4 x)}{2 e^{6 x}}$

Paso 8.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1

Factoriza $e^{3 x} \csc (4 x)$ de $- 4 e^{3 x} \cot (4 x) \csc (4 x) - 3 e^{3 x} \csc (4 x)$ .

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Paso 8.3.1.1

Factoriza $e^{3 x} \csc (4 x)$ de $- 4 e^{3 x} \cot (4 x) \csc (4 x)$ .

$\frac{e^{3 x} \csc (4 x) (- 4 \cot (4 x)) - 3 e^{3 x} \csc (4 x)}{2 e^{6 x}}$

Paso 8.3.1.2

Factoriza $e^{3 x} \csc (4 x)$ de $- 3 e^{3 x} \csc (4 x)$ .

$\frac{e^{3 x} \csc (4 x) (- 4 \cot (4 x)) + e^{3 x} \csc (4 x) (- 3)}{2 e^{6 x}}$

Paso 8.3.1.3

Factoriza $e^{3 x} \csc (4 x)$ de $e^{3 x} \csc (4 x) (- 4 \cot (4 x)) + e^{3 x} \csc (4 x) (- 3)$ .

$\frac{e^{3 x} \csc (4 x) (- 4 \cot (4 x) - 3)}{2 e^{6 x}}$

Paso 8.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 4 \cot (4 x) - 3$ .

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Paso 8.3.2.1

Factoriza $- 1$ de $- 4 \cot (4 x)$ .

$\frac{e^{3 x} \csc (4 x) (- (4 \cot (4 x)) - 3)}{2 e^{6 x}}$

Paso 8.3.2.2

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{e^{3 x} \csc (4 x) (- (4 \cot (4 x)) - 1 (3))}{2 e^{6 x}}$

Paso 8.3.2.3

Factoriza $- 1$ de $- (4 \cot (4 x)) - 1 (3)$ .

$\frac{e^{3 x} \csc (4 x) (- (4 \cot (4 x) + 3))}{2 e^{6 x}}$

$\frac{e^{3 x} \csc (4 x) \cdot - 1 (4 \cot (4 x) + 3)}{2 e^{6 x}}$

Paso 8.3.3

Factoriza el negativo.

$\frac{- e^{3 x} \csc (4 x) (4 \cot (4 x) + 3)}{2 e^{6 x}}$

Paso 8.4

Cancela el factor común de $e^{3 x}$ y $e^{6 x}$ .

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Paso 8.4.1

Factoriza $e^{6 x}$ de $- e^{3 x} \csc (4 x) (4 \cot (4 x) + 3)$ .

$\frac{e^{6 x} (- e^{- 3 x} \csc (4 x) (4 \cot (4 x) + 3))}{2 e^{6 x}}$

Paso 8.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.4.2.1

Factoriza $e^{6 x}$ de $2 e^{6 x}$ .

$\frac{e^{6 x} (- e^{- 3 x} \csc (4 x) (4 \cot (4 x) + 3))}{e^{6 x} \cdot 2}$

Paso 8.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{e^{6 x} (- e^{- 3 x} \csc (4 x) (4 \cot (4 x) + 3))}{e^{6 x} \cdot 2}$

Paso 8.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- e^{- 3 x} \csc (4 x) (4 \cot (4 x) + 3)}{2}$

Paso 8.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{e^{- 3 x} \csc (4 x) (4 \cot (4 x) + 3)}{2}$