Cálculo Ejemplos

$\frac{\arctan (x) - \frac{π}{4}}{x - 1}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \arctan (x) - \frac{π}{4}$ y $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [\arctan (x) - \frac{π}{4}] - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $\arctan (x) - \frac{π}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]) - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3

La derivada de $\arctan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]) - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $- \frac{π}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{π}{4}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{1}{1 + x^{2}} + 0) - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.2

Suma $\frac{1}{1 + x^{2}}$ y $0$ .

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 + x^{2}} - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 + x^{2}} - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 + x^{2}} - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 + x^{2}} - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.6

Simplifica la expresión.

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Paso 4.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 + x^{2}} - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 + x^{2}} - (\arctan (x) - \frac{π}{4})}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 + x^{2}} - \arctan (x) - - \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $x - 1$ por $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{\frac{x - 1}{1 + x^{2}} - \arctan (x) - - \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- - \frac{π}{4}$ .

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Paso 5.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{x - 1}{1 + x^{2}} - \arctan (x) + 1 \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.1.2.2

Multiplica $\frac{π}{4}$ por $1$ .

$\frac{\frac{x - 1}{1 + x^{2}} - \arctan (x) + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.2

Para escribir $- \arctan (x)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{\frac{x - 1}{1 + x^{2}} - \arctan (x) \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.3

Combina $- \arctan (x)$ y $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{\frac{x - 1}{1 + x^{2}} + \frac{- \arctan (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{x - 1 - \arctan (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.5

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{x - 1 - \arctan (x) \cdot 1 - \arctan (x) x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.5.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\frac{x - 1 - \arctan (x) - \arctan (x) x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.5.1.3

Reordena los términos.

$\frac{\frac{- x^{2} \arctan (x) + x - 1 - \arctan (x)}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.5.1.4

Reescribe $- x^{2} \arctan (x) + x - 1 - \arctan (x)$ en forma factorizada.

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Paso 5.2.5.1.4.1

Reagrupa los términos.

$\frac{\frac{- 1 - x^{2} \arctan (x) + x - \arctan (x)}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.5.1.4.2

Factoriza $- 1$ de $- x^{2} \arctan (x) + x - \arctan (x)$ .

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Paso 5.2.5.1.4.2.1

Reordena $- x^{2} \arctan (x)$ y $x$ .

$\frac{\frac{- 1 + x - x^{2} \arctan (x) - \arctan (x)}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.5.1.4.2.2

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$\frac{\frac{- 1 - 1 (- x) - x^{2} \arctan (x) - \arctan (x)}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.5.1.4.2.3

Factoriza $- 1$ de $- x^{2} \arctan (x)$ .

$\frac{\frac{- 1 - 1 (- x) - (x^{2} \arctan (x)) - \arctan (x)}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.5.1.4.2.4

Factoriza $- 1$ de $- \arctan (x)$ .

$\frac{\frac{- 1 - 1 (- x) - (x^{2} \arctan (x)) - (\arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.5.1.4.2.5

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- x) - (x^{2} \arctan (x))$ .

$\frac{\frac{- 1 - 1 (- x + x^{2} \arctan (x)) - (\arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.5.1.4.2.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- x + x^{2} \arctan (x)) - (\arctan (x))$ .

$\frac{\frac{- 1 - 1 (- x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.5.1.4.2.7

Reescribe $- 1 (- x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))$ como $- (- x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))$ .

$\frac{\frac{- 1 - (- x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.5.1.4.3

Reordena los términos.

$\frac{\frac{- 1 - (x^{2} \arctan (x) - x + \arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.5.1.4.4

Factoriza $- 1$ de $- 1 - (x^{2} \arctan (x) - x + \arctan (x))$ .

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Paso 5.2.5.1.4.4.1

Reordena $x^{2} \arctan (x)$ y $- x$ .

$\frac{\frac{- 1 - (- x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.5.1.4.4.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{\frac{- 1 (1) - (- x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.5.1.4.4.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (- x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))$ .

$\frac{\frac{- 1 (1 - x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.5.1.4.4.4

Reescribe $- 1 (1 - x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))$ como $- (1 - x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))$ .

$\frac{\frac{- (1 - x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.5.1.4.5

Reordena los términos.

$\frac{\frac{- (x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{- \frac{x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.6

Para escribir $- \frac{x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)}{1 + x^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)}{1 + x^{2}} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.7

Para escribir $\frac{π}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)}{1 + x^{2}} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.8

Escribe cada expresión con un denominador común de $(1 + x^{2}) \cdot 4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.2.8.1

Multiplica $\frac{x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)}{1 + x^{2}}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- \frac{(x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)) \cdot 4}{(1 + x^{2}) \cdot 4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.8.2

Multiplica $\frac{π}{4}$ por $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{- \frac{(x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)) \cdot 4}{(1 + x^{2}) \cdot 4} + \frac{π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.8.3

Reordena los factores de $(1 + x^{2}) \cdot 4$ .

$\frac{- \frac{(x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)) \cdot 4}{4 (1 + x^{2})} + \frac{π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{- (x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.10

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{(- (x^{2} \arctan (x)) - - x - 1 \cdot 1 - \arctan (x)) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.10.2

Simplifica.

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Paso 5.2.10.2.1

Multiplica $- - x$ .

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Paso 5.2.10.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{(- x^{2} \arctan (x) + 1 x - 1 \cdot 1 - \arctan (x)) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.10.2.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{\frac{(- x^{2} \arctan (x) + x - 1 \cdot 1 - \arctan (x)) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.10.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\frac{(- x^{2} \arctan (x) + x - 1 - \arctan (x)) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.10.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{- x^{2} \arctan (x) \cdot 4 + x \cdot 4 - 1 \cdot 4 - \arctan (x) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.10.4

Simplifica.

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Paso 5.2.10.4.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{- 4 x^{2} \arctan (x) + x \cdot 4 - 1 \cdot 4 - \arctan (x) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.10.4.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{\frac{- 4 x^{2} \arctan (x) + 4 \cdot x - 1 \cdot 4 - \arctan (x) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.10.4.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{\frac{- 4 x^{2} \arctan (x) + 4 \cdot x - 4 - \arctan (x) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.10.4.4

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{- 4 x^{2} \arctan (x) + 4 \cdot x - 4 - 4 \arctan (x) + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.10.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{- 4 x^{2} \arctan (x) + 4 x - 4 - 4 \arctan (x) + π \cdot 1 + π x^{2}}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.10.6

Multiplica $π$ por $1$ .

$\frac{\frac{- 4 x^{2} \arctan (x) + 4 x - 4 - 4 \arctan (x) + π + π x^{2}}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.10.7

Reordena los términos.

$\frac{\frac{- 4 x^{2} \arctan (x) + π x^{2} + 4 x - 4 + π - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.11

Factoriza $- 1$ de $- 4 x^{2} \arctan (x)$ .

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x)) + π x^{2} + 4 x - 4 + π - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.12

Factoriza $- 1$ de $π x^{2}$ .

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x)) - (- π x^{2}) + 4 x - 4 + π - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.13

Factoriza $- 1$ de $- (4 x^{2} \arctan (x)) - (- π x^{2})$ .

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2}) + 4 x - 4 + π - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.14

Factoriza $- 1$ de $4 x$ .

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2}) - (- 4 x) - 4 + π - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.15

Factoriza $- 1$ de $- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2}) - (- 4 x)$ .

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x) - 4 + π - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.16

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x) - 1 (4) + π - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.17

Factoriza $- 1$ de $- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x) - 1 (4)$ .

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4) + π - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.18

Factoriza $- 1$ de $π$ .

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4) - 1 (- π) - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.19

Factoriza $- 1$ de $- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4) - 1 (- π)$ .

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π) - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.20

Factoriza $- 1$ de $- 4 \arctan (x)$ .

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π) - (4 \arctan (x))}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.21

Factoriza $- 1$ de $- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π) - (4 \arctan (x))$ .

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x))}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.22

Reescribe $- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x))$ como $- 1 (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x))$ .

$\frac{\frac{- 1 (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x))}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.23

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{- \frac{4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.3

Combina los términos.

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Paso 5.3.1

Reescribe $\frac{- \frac{4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$ como un producto.

$- \frac{4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})} \cdot \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Multiplica $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ por $\frac{4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}$ .

$- \frac{4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x)}{{(x - 1)}^{2} (4 (1 + x^{2}))}$

Paso 5.3.3

Mueve $4$ a la izquierda de ${(x - 1)}^{2}$ .

$- \frac{4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x)}{4 {(x - 1)}^{2} (1 + x^{2})}$