Cálculo Ejemplos

$\cos^{3} (3 x^{3} - 2)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \cos (3 x^{3} - 2)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\cos (3 x^{3} - 2)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (3 x^{3} - 2)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (3 x^{3} - 2)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\cos (3 x^{3} - 2)$ .

$3 \cos^{2} (3 x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [\cos (3 x^{3} - 2)]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 3 x^{3} - 2$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x^{3} - 2$ .

$3 \cos^{2} (3 x^{3} - 2) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 2])$

Paso 2.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$3 \cos^{2} (3 x^{3} - 2) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 2])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x^{3} - 2$ .

$3 \cos^{2} (3 x^{3} - 2) (- \sin (3 x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 2])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 \cos^{2} (3 x^{3} - 2) (\sin (3 x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 2])$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{3} - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- 3 \cos^{2} (3 x^{3} - 2) \sin (3 x^{3} - 2) (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{3}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 3 \cos^{2} (3 x^{3} - 2) \sin (3 x^{3} - 2) (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 3 \cos^{2} (3 x^{3} - 2) \sin (3 x^{3} - 2) (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 3.5

Multiplica $3$ por $3$ .

$- 3 \cos^{2} (3 x^{3} - 2) \sin (3 x^{3} - 2) (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 3.6

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 3 \cos^{2} (3 x^{3} - 2) \sin (3 x^{3} - 2) (9 x^{2} + 0)$

Paso 3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 3.7.1

Suma $9 x^{2}$ y $0$ .

$- 3 \cos^{2} (3 x^{3} - 2) \sin (3 x^{3} - 2) (9 x^{2})$

Paso 3.7.2

Multiplica $9$ por $- 3$ .

$- 27 \cos^{2} (3 x^{3} - 2) \sin (3 x^{3} - 2) x^{2}$

Paso 3.7.3

Reordena los factores de $- 27 \cos^{2} (3 x^{3} - 2) \sin (3 x^{3} - 2) x^{2}$ .

$- 27 x^{2} \cos^{2} (3 x^{3} - 2) \sin (3 x^{3} - 2)$