Cálculo Ejemplos

$\frac{8 \ln (x)}{x^{8}}$

Paso 1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{8 \ln (x)}{x^{8}}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x^{8}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x^{8}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{8}$ .

$8 \frac{x^{8} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{{(x^{8})}^{2}}$

Paso 3

Multiplica los exponentes en ${(x^{8})}^{2}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{x^{8} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{8 \cdot 2}}$

Paso 3.2

Multiplica $8$ por $2$ .

$8 \frac{x^{8} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Paso 4

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$8 \frac{x^{8} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 5.1

Combina $x^{8}$ y $\frac{1}{x}$ .

$8 \frac{\frac{x^{8}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $x^{8}$ y $x$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $x$ de $x^{8}$ .

$8 \frac{\frac{x \cdot x^{7}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Paso 5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$8 \frac{\frac{x \cdot x^{7}}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Paso 5.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$8 \frac{\frac{x \cdot x^{7}}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Paso 5.2.2.3

Cancela el factor común.

$8 \frac{\frac{x \cdot x^{7}}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Paso 5.2.2.4

Reescribe la expresión.

$8 \frac{\frac{x^{7}}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Paso 5.2.2.5

Divide $x^{7}$ por $1$ .

$8 \frac{x^{7} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 8$ .

$8 \frac{x^{7} - \ln (x) (8 x^{7})}{x^{16}}$

Paso 5.4

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 5.4.1

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$8 \frac{x^{7} - 8 \ln (x) x^{7}}{x^{16}}$

Paso 5.4.2

Factoriza $x^{7}$ de $x^{7} - 8 \ln (x) x^{7}$ .

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Paso 5.4.2.1

Multiplica por $1$ .

$8 \frac{x^{7} \cdot 1 - 8 \ln (x) x^{7}}{x^{16}}$

Paso 5.4.2.2

Factoriza $x^{7}$ de $- 8 \ln (x) x^{7}$ .

$8 \frac{x^{7} \cdot 1 + x^{7} (- 8 \ln (x))}{x^{16}}$

Paso 5.4.2.3

Factoriza $x^{7}$ de $x^{7} \cdot 1 + x^{7} (- 8 \ln (x))$ .

$8 \frac{x^{7} (1 - 8 \ln (x))}{x^{16}}$

Paso 6

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1

Factoriza $x^{7}$ de $x^{16}$ .

$8 \frac{x^{7} (1 - 8 \ln (x))}{x^{7} x^{9}}$

Paso 6.2

Cancela el factor común.

$8 \frac{x^{7} (1 - 8 \ln (x))}{x^{7} x^{9}}$

Paso 6.3

Reescribe la expresión.

$8 \frac{1 - 8 \ln (x)}{x^{9}}$

Paso 7

Combina $8$ y $\frac{1 - 8 \ln (x)}{x^{9}}$ .

$\frac{8 (1 - 8 \ln (x))}{x^{9}}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 \cdot 1 + 8 (- 8 \ln (x))}{x^{9}}$

Paso 8.2

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1

Multiplica $8$ por $1$ .

$\frac{8 + 8 (- 8 \ln (x))}{x^{9}}$

Paso 8.2.2

Simplifica $- 8 \ln (x)$ al mover $8$ dentro del algoritmo.

$\frac{8 + 8 (- \ln (x^{8}))}{x^{9}}$

Paso 8.2.3

Multiplica $8 (- \ln (x^{8}))$ .

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Paso 8.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{8 - 8 \ln (x^{8})}{x^{9}}$

Paso 8.2.3.2

Simplifica $- 8 \ln (x^{8})$ al mover $8$ dentro del algoritmo.

$\frac{8 - \ln ({(x^{8})}^{8})}{x^{9}}$

Paso 8.2.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{8})}^{8}$ .

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Paso 8.2.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 - \ln (x^{8 \cdot 8})}{x^{9}}$

Paso 8.2.4.2

Multiplica $8$ por $8$ .

$\frac{8 - \ln (x^{64})}{x^{9}}$