Cálculo Ejemplos

$\frac{9 x^{3} + 3 x^{2}}{x}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 9 x^{3} + 3 x^{2}$ y $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [9 x^{3} + 3 x^{2}] - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x^{3} + 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.2

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{3}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x (9 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{x (9 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.4

Multiplica $3$ por $9$ .

$\frac{x (27 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (27 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x (27 x^{2} + 3 (2 x)) - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.7

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{x (27 x^{2} + 6 x) - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x (27 x^{2} + 6 x) - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 2.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x (27 x^{2} + 6 x) - (9 x^{3} + 3 x^{2})}{x^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (27 x^{2}) + x (6 x) - (9 x^{3} + 3 x^{2})}{x^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (27 x^{2}) + x (6 x) - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{27 x \cdot x^{2} + x (6 x) - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{27 (x^{2} x) + x (6 x) - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

Paso 3.3.1.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 3.3.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{27 (x^{2} x^{1}) + x (6 x) - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

Paso 3.3.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{27 x^{2 + 1} + x (6 x) - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

Paso 3.3.1.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{27 x^{3} + x (6 x) - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

Paso 3.3.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{27 x^{3} + 6 x \cdot x - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{27 x^{3} + 6 (x \cdot x) - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

Paso 3.3.1.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{27 x^{3} + 6 x^{2} - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

Paso 3.3.1.5

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\frac{27 x^{3} + 6 x^{2} - 9 x^{3} - (3 x^{2})}{x^{2}}$

Paso 3.3.1.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{27 x^{3} + 6 x^{2} - 9 x^{3} - 3 x^{2}}{x^{2}}$

Paso 3.3.2

Resta $9 x^{3}$ de $27 x^{3}$ .

$\frac{18 x^{3} + 6 x^{2} - 3 x^{2}}{x^{2}}$

Paso 3.3.3

Resta $3 x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{18 x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2}}$

Paso 3.4

Factoriza $3 x^{2}$ de $18 x^{3} + 3 x^{2}$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $3 x^{2}$ de $18 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{2} (6 x) + 3 x^{2}}{x^{2}}$

Paso 3.4.2

Factoriza $3 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} (6 x) + 3 x^{2} (1)}{x^{2}}$

Paso 3.4.3

Factoriza $3 x^{2}$ de $3 x^{2} (6 x) + 3 x^{2} (1)$ .

$\frac{3 x^{2} (6 x + 1)}{x^{2}}$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2} (6 x + 1)}{x^{2}}$

Paso 3.5.2

Divide $3 (6 x + 1)$ por $1$ .

$3 (6 x + 1)$

Paso 3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (6 x) + 3 \cdot 1$

Paso 3.7

Multiplica $6$ por $3$ .

$18 x + 3 \cdot 1$

Paso 3.8

Multiplica $3$ por $1$ .

$18 x + 3$