Cálculo Ejemplos

$\sec^{5} (4 x)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = \sec (4 x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sec (4 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sec (4 x)$ .

$5 \sec^{4} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $4 x$ .

$5 \sec^{4} (4 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 2.2

La derivada de $\sec (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$5 \sec^{4} (4 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $4 x$ .

$5 \sec^{4} (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 3

Eleva $\sec (4 x)$ a la potencia de $1$ .

$5 (\sec^{1} (4 x) \sec^{4} (4 x)) (\tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 {\sec (4 x)}^{1 + 4} (\tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 5

Suma $1$ y $4$ .

$5 \sec^{5} (4 x) (\tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 6

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \sec^{5} (4 x) \tan (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 7

Multiplica $4$ por $5$ .

$20 \sec^{5} (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$20 \sec^{5} (4 x) \tan (4 x) \cdot 1$

Paso 9

Multiplica $20$ por $1$ .

$20 \sec^{5} (4 x) \tan (4 x)$