Cálculo Ejemplos

$\sec^{2} (e^{2 x})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sec (e^{2 x})$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sec (e^{2 x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (e^{2 x})]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (e^{2 x})]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sec (e^{2 x})$ .

$2 \sec (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [\sec (e^{2 x})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = e^{2 x}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $e^{2 x}$ .

$2 \sec (e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Paso 2.2

La derivada de $\sec (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$2 \sec (e^{2 x}) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $e^{2 x}$ .

$2 \sec (e^{2 x}) (\sec (e^{2 x}) \tan (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Paso 3

Eleva $\sec (e^{2 x})$ a la potencia de $1$ .

$2 (\sec^{1} (e^{2 x}) \sec (e^{2 x})) (\tan (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Paso 4

Eleva $\sec (e^{2 x})$ a la potencia de $1$ .

$2 (\sec^{1} (e^{2 x}) \sec^{1} (e^{2 x})) (\tan (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Paso 5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 {\sec (e^{2 x})}^{1 + 1} (\tan (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Paso 6

Suma $1$ y $1$ .

$2 \sec^{2} (e^{2 x}) (\tan (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Paso 7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $2 x$ .

$2 \sec^{2} (e^{2 x}) \tan (e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 7.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ es $a^{u_{3}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$2 \sec^{2} (e^{2 x}) \tan (e^{2 x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 7.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $2 x$ .

$2 \sec^{2} (e^{2 x}) \tan (e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 8

Diferencia.

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Paso 8.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sec^{2} (e^{2 x}) \tan (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 8.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 \sec^{2} (e^{2 x}) \tan (e^{2 x}) (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Paso 8.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \sec^{2} (e^{2 x}) \tan (e^{2 x}) (e^{2 x} \cdot 1)$

Paso 8.4

Simplifica la expresión.

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Paso 8.4.1

Multiplica $e^{2 x}$ por $1$ .

$4 \sec^{2} (e^{2 x}) \tan (e^{2 x}) e^{2 x}$

Paso 8.4.2

Reordena los factores de $4 \sec^{2} (e^{2 x}) \tan (e^{2 x}) e^{2 x}$ .

$4 e^{2 x} \sec^{2} (e^{2 x}) \tan (e^{2 x})$