Cálculo Ejemplos

$\arcsin (4 x^{3})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arcsin (x)$ y $g (x) = 4 x^{3}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Paso 1.2

La derivada de $\arcsin (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x^{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(4 x^{3})}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Factoriza $4$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(4 (x^{3}))}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Paso 2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1

Aplica la regla del producto a $4 (x^{3})$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (4^{2} {(x^{3})}^{2})}} \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Paso 2.2.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (16 {(x^{3})}^{2})}} \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Paso 2.2.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{2}$ .

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Paso 2.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (16 x^{3 \cdot 2})}} \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Paso 2.2.3.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (16 x^{6})}} \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Paso 2.2.4

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{6}}} \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Paso 2.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{6}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 2.4

Combina $4$ y $\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{6}}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{6}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{6}}} (3 x^{2})$

Paso 2.6

Combina fracciones.

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Paso 2.6.1

Combina $3$ y $\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{6}}}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{\sqrt{1 - 16 x^{6}}} x^{2}$

Paso 2.6.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{12}{\sqrt{1 - 16 x^{6}}} x^{2}$

Paso 2.6.3

Combina $\frac{12}{\sqrt{1 - 16 x^{6}}}$ y $x^{2}$ .

$\frac{12 x^{2}}{\sqrt{1 - 16 x^{6}}}$