Cálculo Ejemplos

$\frac{\tan (x)}{1 + \sec (x)}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = 1 + \sec (x)$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)] - \tan (x) \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 2

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \sec (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)])}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 3.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sec (x)])}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 4

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 5

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 6

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \sec^{2} (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 9.2

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.1

Factoriza $\sec (x)$ de $1 \sec^{2} (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

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Paso 9.2.1.1

Factoriza $\sec (x)$ de $1 \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 9.2.1.2

Factoriza $\sec (x)$ de $\sec (x) \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x)) + \sec (x) (\sec^{2} (x)) - \tan^{2} (x) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 9.2.1.3

Factoriza $\sec (x)$ de $- \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x)) + \sec (x) (\sec^{2} (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 9.2.1.4

Factoriza $\sec (x)$ de $\sec (x) (1 \sec (x)) + \sec (x) (\sec^{2} (x))$ .

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x) + \sec^{2} (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 9.2.1.5

Factoriza $\sec (x)$ de $\sec (x) (1 \sec (x) + \sec^{2} (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))$ .

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x) + \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 9.2.2

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x) + 1)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 9.2.3

Multiplica $\sec (x)$ por $1$ .

$\frac{\sec (x) (\sec (x) + 1)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 9.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 9.2.5

Multiplica $\sec (x) \sec (x)$ .

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Paso 9.2.5.1

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sec^{1} (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 9.2.5.2

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 9.2.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\sec (x)}^{1 + 1} + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 9.2.5.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 9.2.6

Multiplica $\sec (x)$ por $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 9.3

Factoriza $\sec (x)$ de $\sec^{2} (x) + \sec (x)$ .

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Paso 9.3.1

Factoriza $\sec (x)$ de $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) \sec (x) + \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 9.3.2

Multiplica por $1$ .

$\frac{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 9.3.3

Factoriza $\sec (x)$ de $\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1$ .

$\frac{\sec (x) (\sec (x) + 1)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 9.4

Cancela el factor común de $\sec (x) + 1$ y ${(1 + \sec (x))}^{2}$ .

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Paso 9.4.1

Reordena los términos.

$\frac{\sec (x) (1 + \sec (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 9.4.2

Factoriza $1 + \sec (x)$ de $\sec (x) (1 + \sec (x))$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Paso 9.4.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.4.3.1

Factoriza $1 + \sec (x)$ de ${(1 + \sec (x))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 + \sec (x))}$

Paso 9.4.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 + \sec (x))}$

Paso 9.4.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)}$