Cálculo Ejemplos

$\sin^{4} (3 x) - \cos^{4} (3 x)$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin^{4} (3 x) - \cos^{4} (3 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin^{4} (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{4} (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin^{4} (3 x)]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = \sin (3 x)$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sin (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sin (3 x)$ .

$4 \sin^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x$ .

$4 \sin^{3} (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

Paso 2.2.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$4 \sin^{3} (3 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x$ .

$4 \sin^{3} (3 x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

Paso 2.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \sin^{3} (3 x) (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \sin^{3} (3 x) (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

Paso 2.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$4 \sin^{3} (3 x) (\cos (3 x) \cdot 3) + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

Paso 2.6

Mueve $3$ a la izquierda de $\cos (3 x)$ .

$4 \sin^{3} (3 x) (3 \cdot \cos (3 x)) + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

Paso 2.7

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$ .

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Paso 3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos^{4} (3 x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos^{4} (3 x)]$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - \frac{d}{d x} [\cos^{4} (3 x)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = \cos (3 x)$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $\cos (3 x)$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ es $n {u_{3}}^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $\cos (3 x)$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 \cos^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{4}$ como $3 x$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 \cos^{3} (3 x) (\frac{d}{d u_{4}} [\cos (u_{4})] \frac{d}{d x} [3 x]))$

Paso 3.3.2

La derivada de $\cos (u_{4})$ con respecto a $u_{4}$ es $- \sin (u_{4})$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 \cos^{3} (3 x) (- \sin (u_{4}) \frac{d}{d x} [3 x]))$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{4}$ con $3 x$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 \cos^{3} (3 x) (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]))$

Paso 3.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 \cos^{3} (3 x) (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])))$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 \cos^{3} (3 x) (- \sin (3 x) (3 \cdot 1)))$

Paso 3.6

Multiplica $3$ por $1$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 \cos^{3} (3 x) (- \sin (3 x) \cdot 3))$

Paso 3.7

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 \cos^{3} (3 x) (- 3 \sin (3 x)))$

Paso 3.8

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (- 12 \cos^{3} (3 x) \sin (3 x))$

Paso 3.9

Multiplica $- 12$ por $- 1$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) + 12 \cos^{3} (3 x) \sin (3 x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Factoriza $12 \sin (3 x) \cos (3 x)$ de $12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) + 12 \cos^{3} (3 x) \sin (3 x)$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $12 \sin (3 x) \cos (3 x)$ de $12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x)$ .

$12 \sin (3 x) \cos (3 x) (\sin^{2} (3 x)) + 12 \cos^{3} (3 x) \sin (3 x)$

Paso 4.1.2

Factoriza $12 \sin (3 x) \cos (3 x)$ de $12 \cos^{3} (3 x) \sin (3 x)$ .

$12 \sin (3 x) \cos (3 x) (\sin^{2} (3 x)) + 12 \sin (3 x) \cos (3 x) (\cos^{2} (3 x))$

Paso 4.1.3

Factoriza $12 \sin (3 x) \cos (3 x)$ de $12 \sin (3 x) \cos (3 x) (\sin^{2} (3 x)) + 12 \sin (3 x) \cos (3 x) (\cos^{2} (3 x))$ .

$12 \sin (3 x) \cos (3 x) (\sin^{2} (3 x) + \cos^{2} (3 x))$

Paso 4.2

Aplica la identidad pitagórica.

$12 \sin (3 x) \cos (3 x) \cdot 1$

Paso 4.3

Multiplica $12$ por $1$ .

$12 \sin (3 x) \cos (3 x)$