Cálculo Ejemplos

$\sqrt{x^{2} + 2 x + 5}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 2 x + 5}$ como ${(x^{2} + 2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 2 x + 5$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 2 x + 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 5]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 5]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 2 x + 5$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 5]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 5]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 5]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 5]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 5]$

Paso 6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 5]$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 5]$

Paso 7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} + 2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 5]$

Paso 7.3

Mueve ${(x^{2} + 2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 5]$

Paso 8

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 10

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 12

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 13

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 + 0)$

Paso 14

Suma $2 x + 2$ y $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2)$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Reordena los factores de $\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2)$ .

$(2 x + 2) \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 15.2

Multiplica $2 x + 2$ por $\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x + 2}{2 {(x^{2} + 2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 15.3

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 2}{2 {(x^{2} + 2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 15.4

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (x) + 2 \cdot 1}{2 {(x^{2} + 2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 15.5

Factoriza $2$ de $2 (x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (x + 1)}{2 {(x^{2} + 2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 15.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 15.6.1

Factoriza $2$ de $2 {(x^{2} + 2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x + 1)}{2 ({(x^{2} + 2 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 15.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x + 1)}{2 {(x^{2} + 2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 15.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$