Cálculo Ejemplos

$\sqrt{e^{x} - 1}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{e^{x} - 1}$ como ${(e^{x} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(e^{x} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = e^{x} - 1$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $e^{x} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $e^{x} - 1$ .

$\frac{1}{2} {(e^{x} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(e^{x} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(e^{x} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(e^{x} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(e^{x} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Paso 6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(e^{x} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Paso 7

Diferencia con la regla de la suma.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(e^{x} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Paso 7.2

Combina fracciones.

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Paso 7.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(e^{x} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(e^{x} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Paso 7.2.2

Mueve ${(e^{x} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(e^{x} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Paso 7.3

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2 {(e^{x} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 8

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2 {(e^{x} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 9

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 9.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(e^{x} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (e^{x} + 0)$

Paso 9.2

Combina fracciones.

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Paso 9.2.1

Suma $e^{x}$ y $0$ .

$\frac{1}{2 {(e^{x} - 1)}^{\frac{1}{2}}} e^{x}$

Paso 9.2.2

Combina $\frac{1}{2 {(e^{x} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{2 {(e^{x} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$