Cálculo Ejemplos

$e^{6 x} - \csc (x) \cot (x)$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{6 x} - \csc (x) \cot (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{6 x}]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 6 x$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 x$ .

$e^{6 x} \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

Paso 2.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{6 x} (6 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

Paso 2.4

Multiplica $6$ por $1$ .

$e^{6 x} \cdot 6 + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

Paso 2.5

Mueve $6$ a la izquierda de $e^{6 x}$ .

$6 e^{6 x} + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$ .

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Paso 3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \csc (x) \cot (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\csc (x) \cot (x)]$ .

$6 e^{6 x} - \frac{d}{d x} [\csc (x) \cot (x)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \csc (x)$ y $g (x) = \cot (x)$ .

$6 e^{6 x} - (\csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Paso 3.3

La derivada de $\cot (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc^{2} (x)$ .

$6 e^{6 x} - (\csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Paso 3.4

La derivada de $\csc (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc (x) \cot (x)$ .

$6 e^{6 x} - (\csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Paso 3.5

Eleva $\csc (x)$ a la potencia de $1$ .

$6 e^{6 x} - (- (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x)) + \cot (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Paso 3.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 e^{6 x} - (- {\csc (x)}^{1 + 2} + \cot (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Paso 3.7

Suma $1$ y $2$ .

$6 e^{6 x} - (- \csc^{3} (x) + \cot (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Paso 3.8

Eleva $\cot (x)$ a la potencia de $1$ .

$6 e^{6 x} - (- \csc^{3} (x) - \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot (x)))$

Paso 3.9

Eleva $\cot (x)$ a la potencia de $1$ .

$6 e^{6 x} - (- \csc^{3} (x) - \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)))$

Paso 3.10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 e^{6 x} - (- \csc^{3} (x) - \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1})$

Paso 3.11

Suma $1$ y $1$ .

$6 e^{6 x} - (- \csc^{3} (x) - \csc (x) \cot^{2} (x))$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 e^{6 x} - - \csc^{3} (x) - (- \csc (x) \cot^{2} (x))$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$6 e^{6 x} + 1 \csc^{3} (x) - (- \csc (x) \cot^{2} (x))$

Paso 4.2.2

Multiplica $\csc^{3} (x)$ por $1$ .

$6 e^{6 x} + \csc^{3} (x) - (- \csc (x) \cot^{2} (x))$

Paso 4.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$6 e^{6 x} + \csc^{3} (x) + 1 (\csc (x) \cot^{2} (x))$

Paso 4.2.4

Multiplica $\csc (x)$ por $1$ .

$6 e^{6 x} + \csc^{3} (x) + \csc (x) \cot^{2} (x)$

Paso 4.3

Reordena los términos.

$\cot^{2} (x) \csc (x) + 6 e^{6 x} + \csc^{3} (x)$