Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 153} \frac{x - 153}{\sqrt{x + 16} - 13}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 153} x - 153}{lim_{x \to 153} \sqrt{x + 16} - 13}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $153$ .

$\frac{lim_{x \to 153} x - lim_{x \to 153} 153}{lim_{x \to 153} \sqrt{x + 16} - 13}$

Paso 1.1.2.1.2

Evalúa el límite de $153$ que es constante cuando $x$ se acerca a $153$ .

$\frac{lim_{x \to 153} x - 1 \cdot 153}{lim_{x \to 153} \sqrt{x + 16} - 13}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $153$ para $x$ .

$\frac{153 - 1 \cdot 153}{lim_{x \to 153} \sqrt{x + 16} - 13}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $153$ .

$\frac{153 - 153}{lim_{x \to 153} \sqrt{x + 16} - 13}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $153$ de $153$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 153} \sqrt{x + 16} - 13}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $153$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 153} \sqrt{x + 16} - lim_{x \to 153} 13}$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 153} x + 16} - lim_{x \to 153} 13}$

Paso 1.1.3.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $153$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 153} x + lim_{x \to 153} 16} - lim_{x \to 153} 13}$

Paso 1.1.3.1.4

Evalúa el límite de $16$ que es constante cuando $x$ se acerca a $153$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 153} x + 16} - lim_{x \to 153} 13}$

Paso 1.1.3.1.5

Evalúa el límite de $13$ que es constante cuando $x$ se acerca a $153$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 153} x + 16} - 1 \cdot 13}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $153$ para $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{153 + 16} - 1 \cdot 13}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Suma $153$ y $16$ .

$\frac{0}{\sqrt{169} - 1 \cdot 13}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Reescribe $169$ como $13^{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{13^{2}} - 1 \cdot 13}$

Paso 1.1.3.3.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{0}{13 - 1 \cdot 13}$

Paso 1.1.3.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $13$ .

$\frac{0}{13 - 13}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $13$ de $13$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 153} \frac{x - 153}{\sqrt{x + 16} - 13} = lim_{x \to 153} \frac{\frac{d}{d x} [x - 153]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 16} - 13]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 153} \frac{\frac{d}{d x} [x - 153]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 16} - 13]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 153$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 153]$ .

$lim_{x \to 153} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 153]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 16} - 13]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 153]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 16} - 13]}$

Paso 1.3.4

Como $- 153$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 153$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 16} - 13]}$

Paso 1.3.5

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 16} - 13]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{x + 16} - 13$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 16}] + \frac{d}{d x} [- 13]$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 16}] + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Paso 1.3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 16}]$ .

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Paso 1.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 16}$ como ${(x + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{d}{d x} [{(x + 16)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Paso 1.3.7.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x + 16$ .

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Paso 1.3.7.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 16$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 16] + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Paso 1.3.7.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 16] + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Paso 1.3.7.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 16$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 16] + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Paso 1.3.7.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 16$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Paso 1.3.7.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Paso 1.3.7.5

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Paso 1.3.7.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Paso 1.3.7.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Paso 1.3.7.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Paso 1.3.7.9

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.7.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Paso 1.3.7.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Paso 1.3.7.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Paso 1.3.7.11

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Paso 1.3.7.12

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{{(x + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Paso 1.3.7.13

Multiplica $\frac{{(x + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{{(x + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Paso 1.3.7.14

Mueve ${(x + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Paso 1.3.8

Como $- 13$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 13$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x + 16)}^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Paso 1.3.9

Suma $\frac{1}{2 {(x + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x + 16)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 153} 1 (2 {(x + 16)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.5

Reescribe ${(x + 16)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x + 16}$ .

$lim_{x \to 153} 1 (2 \sqrt{x + 16})$

Paso 1.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 153} 2 \sqrt{x + 16}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 lim_{x \to 153} \sqrt{x + 16}$

Paso 2.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$2 \sqrt{lim_{x \to 153} x + 16}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $153$ .

$2 \sqrt{lim_{x \to 153} x + lim_{x \to 153} 16}$

Paso 2.4

Evalúa el límite de $16$ que es constante cuando $x$ se acerca a $153$ .

$2 \sqrt{lim_{x \to 153} x + 16}$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $153$ para $x$ .

$2 \sqrt{153 + 16}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Suma $153$ y $16$ .

$2 \sqrt{169}$

Paso 4.2

Reescribe $169$ como $13^{2}$ .

$2 \sqrt{13^{2}}$

Paso 4.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$2 \cdot 13$

Paso 4.4

Multiplica $2$ por $13$ .

$26$