Cálculo Ejemplos

$\frac{\ln (3 x)}{2 x^{2}}$

Paso 1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{\ln (3 x)}{2 x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (3 x)}{x^{2}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (3 x)}{x^{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \ln (3 x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 3

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Paso 3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 4.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{3 x}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x^{2}}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x \cdot x}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $x$ de $3 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 3} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 3} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x}{3} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 5.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x}{3} (3 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 5.4

Simplifica los términos.

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Paso 5.4.1

Combina $3$ y $\frac{x}{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{3 x}{3} \frac{d}{d x} [x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 5.4.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{3 x}{3} \frac{d}{d x} [x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 5.4.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 5.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot 1 - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 5.6

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 5.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x - \ln (3 x) (2 x)}{x^{4}}$

Paso 5.8

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 5.8.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x - 2 \ln (3 x) x}{x^{4}}$

Paso 5.8.2

Factoriza $x$ de $x - 2 \ln (3 x) x$ .

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Paso 5.8.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1} - 2 \ln (3 x) x}{x^{4}}$

Paso 5.8.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot 1 - 2 \ln (3 x) x}{x^{4}}$

Paso 5.8.2.3

Factoriza $x$ de $- 2 \ln (3 x) x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot 1 + x (- 2 \ln (3 x))}{x^{4}}$

Paso 5.8.2.4

Factoriza $x$ de $x \cdot 1 + x (- 2 \ln (3 x))$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (1 - 2 \ln (3 x))}{x^{4}}$

Paso 6

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (1 - 2 \ln (3 x))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 6.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (1 - 2 \ln (3 x))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 2 \ln (3 x)}{x^{3}}$

Paso 7

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1 - 2 \ln (3 x)}{x^{3}}$ .

$\frac{1 - 2 \ln (3 x)}{2 x^{3}}$

Paso 8

Simplifica cada término.

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Paso 8.1

Simplifica $- 2 \ln (3 x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{1 - \ln ({(3 x)}^{2})}{2 x^{3}}$

Paso 8.2

Aplica la regla del producto a $3 x$ .

$\frac{1 - \ln (3^{2} x^{2})}{2 x^{3}}$

Paso 8.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1 - \ln (9 x^{2})}{2 x^{3}}$