Cálculo Ejemplos

$\ln ({(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 8 x^{3} - 3 x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $8 x^{3} - 3 x$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $8 x^{3} - 3 x$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Paso 6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Paso 7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Paso 8

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(8 x^{3} - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(8 x^{3} - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Paso 9

Mueve ${(8 x^{3} - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Paso 10

Multiplica $\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

Paso 11

Multiplica ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 11.1

Mueve ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 ({(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

Paso 11.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

Paso 11.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

Paso 11.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

Paso 11.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{1}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

Paso 12

Simplifica $2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{1}$ .

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

Paso 13

Según la regla de la suma, la derivada de $8 x^{3} - 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Paso 14

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{3}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Paso 15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Paso 16

Multiplica $3$ por $8$ .

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Paso 17

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (24 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 18

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (24 x^{2} - 3 \cdot 1)$

Paso 19

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (24 x^{2} - 3)$

Paso 20

Simplifica.

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Paso 20.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2 (8 x^{3}) + 2 (- 3 x)} (24 x^{2} - 3)$

Paso 20.2

Combina los términos.

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Paso 20.2.1

Multiplica $8$ por $2$ .

$\frac{1}{16 x^{3} + 2 (- 3 x)} (24 x^{2} - 3)$

Paso 20.2.2

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$\frac{1}{16 x^{3} - 6 x} (24 x^{2} - 3)$

Paso 20.3

Reordena los factores de $\frac{1}{16 x^{3} - 6 x} (24 x^{2} - 3)$ .

$(24 x^{2} - 3) \frac{1}{16 x^{3} - 6 x}$

Paso 20.4

Factoriza $2 x$ de $16 x^{3} - 6 x$ .

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Paso 20.4.1

Factoriza $2 x$ de $16 x^{3}$ .

$(24 x^{2} - 3) \frac{1}{2 x (8 x^{2}) - 6 x}$

Paso 20.4.2

Factoriza $2 x$ de $- 6 x$ .

$(24 x^{2} - 3) \frac{1}{2 x (8 x^{2}) + 2 x (- 3)}$

Paso 20.4.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (8 x^{2}) + 2 x (- 3)$ .

$(24 x^{2} - 3) \frac{1}{2 x (8 x^{2} - 3)}$

Paso 20.5

Multiplica $24 x^{2} - 3$ por $\frac{1}{2 x (8 x^{2} - 3)}$ .

$\frac{24 x^{2} - 3}{2 x (8 x^{2} - 3)}$

Paso 20.6

Factoriza $3$ de $24 x^{2} - 3$ .

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Paso 20.6.1

Factoriza $3$ de $24 x^{2}$ .

$\frac{3 (8 x^{2}) - 3}{2 x (8 x^{2} - 3)}$

Paso 20.6.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 (8 x^{2}) + 3 (- 1)}{2 x (8 x^{2} - 3)}$

Paso 20.6.3

Factoriza $3$ de $3 (8 x^{2}) + 3 (- 1)$ .

$\frac{3 (8 x^{2} - 1)}{2 x (8 x^{2} - 3)}$