Cálculo Ejemplos

$\frac{\ln (7 x)}{x^{5}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \ln (7 x)$ y $g (x) = x^{5}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Paso 2

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{2}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Paso 2.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 7 x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $7 x$ .

$\frac{x^{5} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{x^{5} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $7 x$ .

$\frac{x^{5} (\frac{1}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Combina $\frac{1}{7 x}$ y $x^{5}$ .

$\frac{\frac{x^{5}}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $x^{5}$ y $x$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $x$ de $x^{5}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{4}}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.1

Factoriza $x$ de $7 x$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 7} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 4.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 7} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{x^{4}}{7} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 4.3

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\frac{x^{4}}{7} (7 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 4.4

Simplifica los términos.

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Paso 4.4.1

Combina $7$ y $\frac{x^{4}}{7}$ .

$\frac{\frac{7 x^{4}}{7} \frac{d}{d x} [x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 4.4.2

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 4.4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{7 x^{4}}{7} \frac{d}{d x} [x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 4.4.2.2

Divide $x^{4}$ por $1$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x^{4} \cdot 1 - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 4.6

Multiplica $x^{4}$ por $1$ .

$\frac{x^{4} - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{x^{4} - \ln (7 x) (5 x^{4})}{x^{10}}$

Paso 4.8

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 4.8.1

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{x^{4} - 5 \ln (7 x) x^{4}}{x^{10}}$

Paso 4.8.2

Factoriza $x^{4}$ de $x^{4} - 5 \ln (7 x) x^{4}$ .

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Paso 4.8.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{x^{4} \cdot 1 - 5 \ln (7 x) x^{4}}{x^{10}}$

Paso 4.8.2.2

Factoriza $x^{4}$ de $- 5 \ln (7 x) x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (7 x))}{x^{10}}$

Paso 4.8.2.3

Factoriza $x^{4}$ de $x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (7 x))$ .

$\frac{x^{4} (1 - 5 \ln (7 x))}{x^{10}}$

Paso 5

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1

Factoriza $x^{4}$ de $x^{10}$ .

$\frac{x^{4} (1 - 5 \ln (7 x))}{x^{4} x^{6}}$

Paso 5.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{4} (1 - 5 \ln (7 x))}{x^{4} x^{6}}$

Paso 5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - 5 \ln (7 x)}{x^{6}}$

Paso 6

Simplifica cada término.

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Paso 6.1

Simplifica $- 5 \ln (7 x)$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$\frac{1 - \ln ({(7 x)}^{5})}{x^{6}}$

Paso 6.2

Aplica la regla del producto a $7 x$ .

$\frac{1 - \ln (7^{5} x^{5})}{x^{6}}$

Paso 6.3

Eleva $7$ a la potencia de $5$ .

$\frac{1 - \ln (16807 x^{5})}{x^{6}}$