Cálculo Ejemplos

$\frac{\ln (x)}{\ln (x) + 1}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \ln (x) + 1$ .

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x) + 1]}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Paso 2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x) + 1]}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Paso 3

Según la regla de la suma, la derivada de $\ln (x) + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [1])}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Paso 4

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [1])}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Paso 5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 5.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (\frac{1}{x} + 0)}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Paso 5.2

Combina fracciones.

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Paso 5.2.1

Suma $\frac{1}{x}$ y $0$ .

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{1}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Paso 5.2.2

Combina $\frac{1}{x}$ y $\ln (x)$ .

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \frac{\ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Paso 6

Para escribir $(\ln (x) + 1) \frac{1}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{\ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Paso 7

Combina $(\ln (x) + 1) \frac{1}{x}$ y $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} x}{x} - \frac{\ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Paso 8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} x - \ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Paso 9

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{(\ln (x) + 1) \frac{x}{x} - \ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Paso 10

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 10.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{(\ln (x) + 1) \frac{x}{x} - \ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Paso 10.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{(\ln (x) + 1) \cdot 1 - \ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Paso 11

Multiplica $\ln (x) + 1$ por $1$ .

$\frac{\frac{\ln (x) + 1 - \ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Paso 12

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\frac{\ln (\frac{x}{x}) + 1}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Paso 13

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 13.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{\ln (\frac{x}{x}) + 1}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Paso 13.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{\ln (1) + 1}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Paso 14

Reescribe $\frac{\frac{\ln (1) + 1}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$ como un producto.

$\frac{\ln (1) + 1}{x} \cdot \frac{1}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Paso 15

Multiplica $\frac{\ln (1) + 1}{x}$ por $\frac{1}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$ .

$\frac{\ln (1) + 1}{x {(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Paso 16

Simplifica el numerador.

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Paso 16.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{0 + 1}{x {(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Paso 16.2

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1}{x {(\ln (x) + 1)}^{2}}$