Cálculo Ejemplos

$\log_{5} (1 + 2 x)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \log_{5} (x)$ y $g (x) = 1 + 2 x$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{5} (u)] \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Paso 1.2

La derivada de $\log_{5} (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u \ln (5)} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + 2 x$ .

$\frac{1}{(1 + 2 x) \ln (5)} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{1}{(1 + 2 x) \ln (5)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{(1 + 2 x) \ln (5)} (0 + \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{1}{(1 + 2 x) \ln (5)} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{(1 + 2 x) \ln (5)} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.5

Combina $2$ y $\frac{1}{(1 + 2 x) \ln (5)}$ .

$\frac{2}{(1 + 2 x) \ln (5)} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2}{(1 + 2 x) \ln (5)} \cdot 1$

Paso 2.7

Multiplica $\frac{2}{(1 + 2 x) \ln (5)}$ por $1$ .

$\frac{2}{(1 + 2 x) \ln (5)}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{1 \ln (5) + 2 x \ln (5)}$

Paso 3.2

Multiplica $\ln (5)$ por $1$ .

$\frac{2}{\ln (5) + 2 x \ln (5)}$

Paso 3.3

Reordena los términos.

$\frac{2}{2 x \ln (5) + \ln (5)}$