Cálculo Ejemplos

$\sqrt{4 x^{2} + 1600}$

Paso 1

Reescribe $\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x^{2} + 1600}]$ como $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x^{2} + 400}]$ .

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Paso 1.1

Reescribe $4 x^{2} + 1600$ como $2^{2} (x^{2} + 400)$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x^{2}) + 1600}]$

Paso 1.1.2

Factoriza $4$ de $1600$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x^{2}) + 4 (400)}]$

Paso 1.1.3

Factoriza $4$ de $4 (x^{2}) + 4 (400)$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x^{2} + 400)}]$

Paso 1.1.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} (x^{2} + 400)}]$

Paso 1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x^{2} + 400}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 400}$ como ${(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 {(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 400$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 400$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 400$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 400)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 400)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 400)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

Paso 8

Simplifica los términos.

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Paso 8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 400)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} + 400)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{{(x^{2} + 400)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

Paso 8.3

Mueve ${(x^{2} + 400)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{1}{2 {(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

Paso 8.4

Combina $\frac{1}{2 {(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}}$ y $2$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400]$

Paso 8.5

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400]$

Paso 8.6

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400]$

Paso 9

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 400$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [400]$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [400])$

Paso 10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [400])$

Paso 11

Como $400$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $400$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Paso 12

Combina fracciones.

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Paso 12.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Paso 12.2

Combina $2$ y $\frac{1}{{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}} x$

Paso 12.3

Combina $\frac{2}{{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}}$