Cálculo Ejemplos

$\sqrt{3 + \sin (5 x)}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 + \sin (5 x)}$ como ${(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 3 + \sin (5 x)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $3 + \sin (5 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 + \sin (5 x)$ .

$\frac{1}{2} {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

Paso 6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

Paso 7

Diferencia.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(3 + \sin (5 x))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

Paso 7.2

Combina fracciones.

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Paso 7.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(3 + \sin (5 x))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3 + \sin (5 x))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

Paso 7.2.2

Mueve ${(3 + \sin (5 x))}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

Paso 7.3

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + \sin (5 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

$\frac{1}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])$

Paso 7.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])$

Paso 7.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

$\frac{1}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Paso 8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 8.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $5 x$ .

$\frac{1}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 8.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 8.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $5 x$ .

$\frac{1}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 9

Diferencia.

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Paso 9.1

Combina $\cos (5 x)$ y $\frac{1}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\cos (5 x)}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 9.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\cos (5 x)}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 9.3

Combina $5$ y $\frac{\cos (5 x)}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5 \cos (5 x)}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 9.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{5 \cos (5 x)}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Paso 9.5

Multiplica $\frac{5 \cos (5 x)}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{5 \cos (5 x)}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}}$