Cálculo Ejemplos

$\sqrt[3]{\cos^{2} (3 x)}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{\cos^{2} (3 x)}$ como ${\cos (3 x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{\cos (3 x)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ y $g (x) = \cos (3 x)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\cos (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\cos (3 x)$ .

$\frac{2}{3} {\cos (3 x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {\cos (3 x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {\cos (3 x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{3} {\cos (3 x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} {\cos (3 x)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Paso 6.2

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} {\cos (3 x)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{3} {\cos (3 x)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Paso 7.2

Combina $\frac{2}{3}$ y ${\cos (3 x)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {\cos (3 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Paso 7.3

Mueve ${\cos (3 x)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Paso 8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 8.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x$ .

$\frac{2}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 8.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{2}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 8.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x$ .

$\frac{2}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 9

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 9.1

Combina $\frac{2}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}}$ y $\sin (3 x)$ .

$- \frac{2 \sin (3 x)}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 9.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{2 \sin (3 x)}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 9.3

Simplifica los términos.

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Paso 9.3.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3 \frac{2 \sin (3 x)}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 9.3.2

Combina $- 3$ y $\frac{2 \sin (3 x)}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{- 3 (2 \sin (3 x))}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 9.3.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{- 6 \sin (3 x)}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 9.3.4

Factoriza $3$ de $- 6 \sin (3 x)$ .

$\frac{3 (- 2 \sin (3 x))}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 10

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.1

Factoriza $3$ de $3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 (- 2 \sin (3 x))}{3 ({\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}})} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 10.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (- 2 \sin (3 x))}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 10.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2 \sin (3 x)}{{\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 \sin (3 x)}{{\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{2 \sin (3 x)}{{\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

Paso 13

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{2 \sin (3 x)}{{\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}}$