Cálculo Ejemplos

$\sqrt[3]{3 x}$

Paso 1

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{3 x}$ como ${(3 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 x)}^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.2

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 (x))}^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.3

Aplica la regla del producto a $3 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 2

Como $3^{\frac{1}{3}}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $3^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$3^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Paso 7.2

Resta $3$ de $1$ .

$3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Paso 9

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$3^{\frac{1}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 10

Combina $3^{\frac{1}{3}}$ y $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 11

Simplifica la expresión.

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Paso 11.1

Mueve $3^{\frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3^{- \frac{1}{3}}}$

Paso 11.2

Mueve $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 3^{- \frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 12

Multiplica $3$ por $3^{- \frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 12.1

Multiplica $3$ por $3^{- \frac{1}{3}}$ .

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Paso 12.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{3^{1} \cdot 3^{- \frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 12.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{3^{1 - \frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 12.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{3^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 12.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3^{\frac{3 - 1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 12.4

Resta $1$ de $3$ .

$\frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$