Cálculo Ejemplos

$x^{\frac{1}{7}} (x + 8)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{7}}$ y $g (x) = x + 8$ .

$x^{\frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x + 8] + (x + 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$x^{\frac{1}{7}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]) + (x + 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{7}} (1 + \frac{d}{d x} [8]) + (x + 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}}]$

Paso 2.3

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{\frac{1}{7}} (1 + 0) + (x + 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}}]$

Paso 2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$x^{\frac{1}{7}} \cdot 1 + (x + 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}}]$

Paso 2.4.2

Multiplica $x^{\frac{1}{7}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{7}} + (x + 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}}]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{7}$ .

$x^{\frac{1}{7}} + (x + 8) (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} - 1})$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$x^{\frac{1}{7}} + (x + 8) (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{7}{7}$ .

$x^{\frac{1}{7}} + (x + 8) (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{\frac{1}{7}} + (x + 8) (\frac{1}{7} x^{\frac{1 - 1 \cdot 7}{7}})$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$x^{\frac{1}{7}} + (x + 8) (\frac{1}{7} x^{\frac{1 - 7}{7}})$

Paso 6.2

Resta $7$ de $1$ .

$x^{\frac{1}{7}} + (x + 8) (\frac{1}{7} x^{\frac{- 6}{7}})$

Paso 7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{\frac{1}{7}} + (x + 8) (\frac{1}{7} x^{- \frac{6}{7}})$

Paso 8

Combina $\frac{1}{7}$ y $x^{- \frac{6}{7}}$ .

$x^{\frac{1}{7}} + (x + 8) \frac{x^{- \frac{6}{7}}}{7}$

Paso 9

Mueve $x^{- \frac{6}{7}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{7}} + (x + 8) \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{\frac{1}{7}} + x \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 8 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Paso 10.2

Combina los términos.

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Paso 10.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$ .

$x^{\frac{1}{7}} + \frac{x}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 8 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Paso 10.2.2

Mueve $x^{\frac{6}{7}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{1}{7}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{6}{7}}}{7} + 8 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Paso 10.2.3

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{6}{7}}$ sumando los exponentes.

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Paso 10.2.3.1

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{6}{7}}$ .

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Paso 10.2.3.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{6}{7}}}{7} + 8 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Paso 10.2.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{1 - \frac{6}{7}}}{7} + 8 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Paso 10.2.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{\frac{7}{7} - \frac{6}{7}}}{7} + 8 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Paso 10.2.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{\frac{7 - 6}{7}}}{7} + 8 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Paso 10.2.3.4

Resta $6$ de $7$ .

$x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{\frac{1}{7}}}{7} + 8 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Paso 10.2.4

Combina $8$ y $\frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$ .

$x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{\frac{1}{7}}}{7} + \frac{8}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Paso 10.2.5

Para escribir $x^{\frac{1}{7}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$x^{\frac{1}{7}} \cdot \frac{7}{7} + \frac{x^{\frac{1}{7}}}{7} + \frac{8}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Paso 10.2.6

Combina $x^{\frac{1}{7}}$ y $\frac{7}{7}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{7}} \cdot 7}{7} + \frac{x^{\frac{1}{7}}}{7} + \frac{8}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Paso 10.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{\frac{1}{7}} \cdot 7 + x^{\frac{1}{7}}}{7} + \frac{8}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Paso 10.2.8

Mueve $7$ a la izquierda de $x^{\frac{1}{7}}$ .

$\frac{7 \cdot x^{\frac{1}{7}} + x^{\frac{1}{7}}}{7} + \frac{8}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Paso 10.2.9

Suma $7 x^{\frac{1}{7}}$ y $x^{\frac{1}{7}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{7}}}{7} + \frac{8}{7 x^{\frac{6}{7}}}$