Cálculo Ejemplos

$y = \frac{2 x^{6} - 7 x^{5} + 3}{x^{4}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 2 x^{6} - 7 x^{5} + 3$ y $g (x) = x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [2 x^{6} - 7 x^{5} + 3] - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [2 x^{6} - 7 x^{5} + 3] - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

Paso 2.1.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [2 x^{6} - 7 x^{5} + 3] - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{6} - 7 x^{5} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x^{4} (\frac{d}{d x} [2 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Paso 2.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{6}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{x^{4} (2 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$\frac{x^{4} (2 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Paso 2.5

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{x^{4} (12 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Paso 2.6

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7 x^{5}$ con respecto a $x$ es $- 7 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{x^{4} (12 x^{5} - 7 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{x^{4} (12 x^{5} - 7 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Paso 2.8

Multiplica $5$ por $- 7$ .

$\frac{x^{4} (12 x^{5} - 35 x^{4} + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Paso 2.9

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{4} (12 x^{5} - 35 x^{4} + 0) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Paso 2.10

Suma $12 x^{5} - 35 x^{4}$ y $0$ .

$\frac{x^{4} (12 x^{5} - 35 x^{4}) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Paso 2.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{x^{4} (12 x^{5} - 35 x^{4}) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) (4 x^{3})}{x^{8}}$

Paso 2.12

Simplifica con la obtención del factor común.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.12.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{x^{4} (12 x^{5} - 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) x^{3}}{x^{8}}$

Paso 2.12.2

Factoriza $x^{3}$ de $x^{4} (12 x^{5} - 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) x^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.12.2.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{4} (12 x^{5} - 35 x^{4})$ .

$\frac{x^{3} (x (12 x^{5} - 35 x^{4})) - 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) x^{3}}{x^{8}}$

Paso 2.12.2.2

Factoriza $x^{3}$ de $- 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) x^{3}$ .

$\frac{x^{3} (x (12 x^{5} - 35 x^{4})) + x^{3} (- 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3))}{x^{8}}$

Paso 2.12.2.3

Factoriza $x^{3}$ de $x^{3} (x (12 x^{5} - 35 x^{4})) + x^{3} (- 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3))$ .

$\frac{x^{3} (x (12 x^{5} - 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3))}{x^{8}}$

Paso 3

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{8}$ .

$\frac{x^{3} (x (12 x^{5} - 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3))}{x^{3} x^{5}}$

Paso 3.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{3} (x (12 x^{5} - 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3))}{x^{3} x^{5}}$

Paso 3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x (12 x^{5} - 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3)}{x^{5}}$

Paso 4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (12 x^{5}) + x (- 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3)}{x^{5}}$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (12 x^{5}) + x (- 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Paso 4.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{12 x \cdot x^{5} + x (- 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Paso 4.3.1.2

Multiplica $x$ por $x^{5}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.1

Mueve $x^{5}$ .

$\frac{12 (x^{5} x) + x (- 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Paso 4.3.1.2.2

Multiplica $x^{5}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{12 (x^{5} x^{1}) + x (- 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Paso 4.3.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{12 x^{5 + 1} + x (- 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Paso 4.3.1.2.3

Suma $5$ y $1$ .

$\frac{12 x^{6} + x (- 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Paso 4.3.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{12 x^{6} - 35 x \cdot x^{4} - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Paso 4.3.1.4

Multiplica $x$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.4.1

Mueve $x^{4}$ .

$\frac{12 x^{6} - 35 (x^{4} x) - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Paso 4.3.1.4.2

Multiplica $x^{4}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{12 x^{6} - 35 (x^{4} x^{1}) - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Paso 4.3.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{12 x^{6} - 35 x^{4 + 1} - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Paso 4.3.1.4.3

Suma $4$ y $1$ .

$\frac{12 x^{6} - 35 x^{5} - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Paso 4.3.1.5

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$\frac{12 x^{6} - 35 x^{5} - 8 x^{6} - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Paso 4.3.1.6

Multiplica $- 7$ por $- 4$ .

$\frac{12 x^{6} - 35 x^{5} - 8 x^{6} + 28 x^{5} - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Paso 4.3.1.7

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$\frac{12 x^{6} - 35 x^{5} - 8 x^{6} + 28 x^{5} - 12}{x^{5}}$

Paso 4.3.2

Resta $8 x^{6}$ de $12 x^{6}$ .

$\frac{4 x^{6} - 35 x^{5} + 28 x^{5} - 12}{x^{5}}$

Paso 4.3.3

Suma $- 35 x^{5}$ y $28 x^{5}$ .

$\frac{4 x^{6} - 7 x^{5} - 12}{x^{5}}$