Cálculo Ejemplos

$\frac{x}{{(4 x - 11)}^{3}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(4 x - 11)}^{3}$ .

$\frac{{(4 x - 11)}^{3} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(4 x - 11)}^{3}]}{{({(4 x - 11)}^{3})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.1

Multiplica los exponentes en ${({(4 x - 11)}^{3})}^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(4 x - 11)}^{3} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(4 x - 11)}^{3}]}{{(4 x - 11)}^{3 \cdot 2}}$

Paso 2.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{{(4 x - 11)}^{3} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(4 x - 11)}^{3}]}{{(4 x - 11)}^{6}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{{(4 x - 11)}^{3} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(4 x - 11)}^{3}]}{{(4 x - 11)}^{6}}$

Paso 2.3

Multiplica ${(4 x - 11)}^{3}$ por $1$ .

$\frac{{(4 x - 11)}^{3} - x \frac{d}{d x} [{(4 x - 11)}^{3}]}{{(4 x - 11)}^{6}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = 4 x - 11$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x - 11$ .

$\frac{{(4 x - 11)}^{3} - x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [4 x - 11])}{{(4 x - 11)}^{6}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{{(4 x - 11)}^{3} - x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 11])}{{(4 x - 11)}^{6}}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x - 11$ .

$\frac{{(4 x - 11)}^{3} - x (3 {(4 x - 11)}^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 11])}{{(4 x - 11)}^{6}}$

Paso 4

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 4.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{{(4 x - 11)}^{3} - 3 x ({(4 x - 11)}^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 11])}{{(4 x - 11)}^{6}}$

Paso 4.2

Factoriza ${(4 x - 11)}^{2}$ de ${(4 x - 11)}^{3} - 3 x ({(4 x - 11)}^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 11])$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza ${(4 x - 11)}^{2}$ de ${(4 x - 11)}^{3}$ .

$\frac{{(4 x - 11)}^{2} (4 x - 11) - 3 x ({(4 x - 11)}^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 11])}{{(4 x - 11)}^{6}}$

Paso 4.2.2

Factoriza ${(4 x - 11)}^{2}$ de $- 3 x ({(4 x - 11)}^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 11])$ .

$\frac{{(4 x - 11)}^{2} (4 x - 11) + {(4 x - 11)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} [4 x - 11]))}{{(4 x - 11)}^{6}}$

Paso 4.2.3

Factoriza ${(4 x - 11)}^{2}$ de ${(4 x - 11)}^{2} (4 x - 11) + {(4 x - 11)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} [4 x - 11]))$ .

$\frac{{(4 x - 11)}^{2} (4 x - 11 - 3 x (\frac{d}{d x} [4 x - 11]))}{{(4 x - 11)}^{6}}$

Paso 5

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1

Factoriza ${(4 x - 11)}^{2}$ de ${(4 x - 11)}^{6}$ .

$\frac{{(4 x - 11)}^{2} (4 x - 11 - 3 x (\frac{d}{d x} [4 x - 11]))}{{(4 x - 11)}^{2} {(4 x - 11)}^{4}}$

Paso 5.2

Cancela el factor común.

$\frac{{(4 x - 11)}^{2} (4 x - 11 - 3 x (\frac{d}{d x} [4 x - 11]))}{{(4 x - 11)}^{2} {(4 x - 11)}^{4}}$

Paso 5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 x - 11 - 3 x (\frac{d}{d x} [4 x - 11])}{{(4 x - 11)}^{4}}$

Paso 6

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - 11$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$\frac{4 x - 11 - 3 x (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 11])}{{(4 x - 11)}^{4}}$

Paso 7

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 x - 11 - 3 x (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11])}{{(4 x - 11)}^{4}}$

Paso 8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4 x - 11 - 3 x (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 11])}{{(4 x - 11)}^{4}}$

Paso 9

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{4 x - 11 - 3 x (4 + \frac{d}{d x} [- 11])}{{(4 x - 11)}^{4}}$

Paso 10

Como $- 11$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 11$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4 x - 11 - 3 x (4 + 0)}{{(4 x - 11)}^{4}}$

Paso 11

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 11.1

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{4 x - 11 - 3 x \cdot 4}{{(4 x - 11)}^{4}}$

Paso 11.2

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$\frac{4 x - 11 - 12 x}{{(4 x - 11)}^{4}}$

Paso 11.3

Resta $12 x$ de $4 x$ .

$\frac{- 8 x - 11}{{(4 x - 11)}^{4}}$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Factoriza $- 1$ de $- 8 x$ .

$\frac{- (8 x) - 11}{{(4 x - 11)}^{4}}$

Paso 12.2

Reescribe $- 11$ como $- 1 (11)$ .

$\frac{- (8 x) - 1 (11)}{{(4 x - 11)}^{4}}$

Paso 12.3

Factoriza $- 1$ de $- (8 x) - 1 (11)$ .

$\frac{- (8 x + 11)}{{(4 x - 11)}^{4}}$

Paso 12.4

Reescribe $- (8 x + 11)$ como $- 1 (8 x + 11)$ .

$\frac{- 1 (8 x + 11)}{{(4 x - 11)}^{4}}$

Paso 12.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{8 x + 11}{{(4 x - 11)}^{4}}$