Cálculo Ejemplos

$2 \ln (\sec (x) + \tan (x))$

Paso 1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \ln (\sec (x) + \tan (x))$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\ln (\sec (x) + \tan (x))]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\ln (\sec (x) + \tan (x))]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \sec (x) + \tan (x)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sec (x) + \tan (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)])$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sec (x) + \tan (x)$ .

$2 (\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la suma.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ y $2$ .

$\frac{2}{\sec (x) + \tan (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sec (x) + \tan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{2}{\sec (x) + \tan (x)} (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Paso 4

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{2}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Paso 5

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{2}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reordena los factores de $\frac{2}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$ .

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{2}{\sec (x) + \tan (x)}$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sec (x) \tan (x) \frac{2}{\sec (x) + \tan (x)} + \sec^{2} (x) \frac{2}{\sec (x) + \tan (x)}$

Paso 6.3

Multiplica $\sec (x) \tan (x) \frac{2}{\sec (x) + \tan (x)}$ .

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Paso 6.3.1

Combina $\frac{2}{\sec (x) + \tan (x)}$ y $\sec (x)$ .

$\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{2}{\sec (x) + \tan (x)}$

Paso 6.3.2

Combina $\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$ y $\tan (x)$ .

$\frac{2 \sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sec^{2} (x) \frac{2}{\sec (x) + \tan (x)}$

Paso 6.4

Combina $\sec^{2} (x)$ y $\frac{2}{\sec (x) + \tan (x)}$ .

$\frac{2 \sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\sec^{2} (x) \cdot 2}{\sec (x) + \tan (x)}$

Paso 6.5

Mueve $2$ a la izquierda de $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{2 \sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{2 \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Paso 6.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 \sec (x) \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Paso 6.7

Factoriza $2 \sec (x)$ de $2 \sec (x) \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)$ .

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Paso 6.7.1

Factoriza $2 \sec (x)$ de $2 \sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{2 \sec (x) (\tan (x)) + 2 \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Paso 6.7.2

Factoriza $2 \sec (x)$ de $2 \sec^{2} (x)$ .

$\frac{2 \sec (x) (\tan (x)) + 2 \sec (x) (\sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$

Paso 6.7.3

Factoriza $2 \sec (x)$ de $2 \sec (x) (\tan (x)) + 2 \sec (x) (\sec (x))$ .

$\frac{2 \sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$