Cálculo Ejemplos

$2 \cos (x) \sin (2 x) - \sin (x) \cos (2 x)$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 \cos (x) \sin (2 x) - \sin (x) \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 \cos (x) \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x) \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \cos (x) \sin (2 x)]$ .

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Paso 2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \cos (x) \sin (2 x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (2 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \sin (2 x)$ .

$2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$2 (\cos (x) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

Paso 2.3.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$2 (\cos (x) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$2 (\cos (x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

Paso 2.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\cos (x) (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (\cos (x) (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

Paso 2.6

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$2 (\cos (x) (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

Paso 2.7

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 (\cos (x) (\cos (2 x) \cdot 2) + \sin (2 x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

Paso 2.8

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$2 (\cos (x) (2 \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

Paso 2.9

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (x)$ .

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$ .

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Paso 3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sin (x) \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (2 x)]$ .

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) - \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (2 x)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \cos (2 x)$ .

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x$ .

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 3.3.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 3.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 3.6

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) \cos (x))$

Paso 3.7

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (- \sin (2 x) \cdot 2) + \cos (2 x) \cos (x))$

Paso 3.8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) \cos (x))$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x)) + 2 (\sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) \cos (x))$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x)) + 2 (\sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (- 2 \sin (2 x))) - (\cos (2 x) \cos (x))$

Paso 4.3

Combina los términos.

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Paso 4.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 (\cos (x) \cos (2 x)) + 2 (\sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (- 2 \sin (2 x))) - (\cos (2 x) \cos (x))$

Paso 4.3.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$4 \cos (x) \cos (2 x) - 2 (\sin (2 x) (\sin (x))) - (\sin (x) (- 2 \sin (2 x))) - (\cos (2 x) \cos (x))$

Paso 4.3.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$4 \cos (x) \cos (2 x) - 2 \sin (2 x) \sin (x) + 2 (\sin (x) (\sin (2 x))) - (\cos (2 x) \cos (x))$

Paso 4.3.4

Reordena los factores de $- 2 \sin (2 x) \sin (x)$ .

$4 \cos (x) \cos (2 x) - 2 \sin (x) \sin (2 x) + 2 \sin (x) \sin (2 x) - \cos (2 x) \cos (x)$

Paso 4.3.5

Suma $- 2 \sin (x) \sin (2 x)$ y $2 \sin (x) \sin (2 x)$ .

$4 \cos (x) \cos (2 x) + 0 - \cos (2 x) \cos (x)$

Paso 4.3.6

Suma $4 \cos (x) \cos (2 x)$ y $0$ .

$4 \cos (x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \cos (x)$

Paso 4.3.7

Reordena los factores de $- \cos (2 x) \cos (x)$ .

$4 \cos (x) \cos (2 x) - \cos (x) \cos (2 x)$

Paso 4.3.8

Resta $\cos (x) \cos (2 x)$ de $4 \cos (x) \cos (2 x)$ .

$3 \cos (x) \cos (2 x)$