Cálculo Ejemplos

$2 x {(x - 4)}^{3}$

Paso 1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x {(x - 4)}^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{3}] + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x - 4$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 4$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 4$ .

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.4.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1)$

Paso 4.6

Multiplica ${(x - 4)}^{3}$ por $1$ .

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3})$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2})) + 2 {(x - 4)}^{3}$

Paso 5.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 (x ({(x - 4)}^{2})) + 2 {(x - 4)}^{3}$

Paso 5.3

Factoriza $2 {(x - 4)}^{2}$ de $6 x {(x - 4)}^{2} + 2 {(x - 4)}^{3}$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $2 {(x - 4)}^{2}$ de $6 x {(x - 4)}^{2}$ .

$2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{3}$

Paso 5.3.2

Factoriza $2 {(x - 4)}^{2}$ de $2 {(x - 4)}^{3}$ .

$2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{2} (x - 4)$

Paso 5.3.3

Factoriza $2 {(x - 4)}^{2}$ de $2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{2} (x - 4)$ .

$2 {(x - 4)}^{2} (3 x + x - 4)$

Paso 5.4

Suma $3 x$ y $x$ .

$2 {(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

Paso 5.5

Reescribe ${(x - 4)}^{2}$ como $(x - 4) (x - 4)$ .

$2 ((x - 4) (x - 4)) (4 x - 4)$

Paso 5.6

Expande $(x - 4) (x - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

Paso 5.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

Paso 5.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Paso 5.7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.7.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Paso 5.7.1.2

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x$ .

$2 (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Paso 5.7.1.3

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$2 (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)$

Paso 5.7.2

Resta $4 x$ de $- 4 x$ .

$2 (x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$

Paso 5.8

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot 16) (4 x - 4)$

Paso 5.9

Simplifica.

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Paso 5.9.1

Multiplica $- 8$ por $2$ .

$(2 x^{2} - 16 x + 2 \cdot 16) (4 x - 4)$

Paso 5.9.2

Multiplica $2$ por $16$ .

$(2 x^{2} - 16 x + 32) (4 x - 4)$

Paso 5.10

Expande $(2 x^{2} - 16 x + 32) (4 x - 4)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Paso 5.11

Simplifica cada término.

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Paso 5.11.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \cdot 4 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Paso 5.11.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.11.2.1

Mueve $x$ .

$2 \cdot 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Paso 5.11.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 5.11.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 \cdot 4 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Paso 5.11.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \cdot 4 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Paso 5.11.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$2 \cdot 4 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Paso 5.11.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Paso 5.11.4

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Paso 5.11.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot 4 x \cdot x - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Paso 5.11.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.11.6.1

Mueve $x$ .

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot 4 (x \cdot x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Paso 5.11.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot 4 x^{2} - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Paso 5.11.7

Multiplica $- 16$ por $4$ .

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Paso 5.11.8

Multiplica $- 4$ por $- 16$ .

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Paso 5.11.9

Multiplica $4$ por $32$ .

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 128 x + 32 \cdot - 4$

Paso 5.11.10

Multiplica $32$ por $- 4$ .

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 128 x - 128$

Paso 5.12

Resta $64 x^{2}$ de $- 8 x^{2}$ .

$8 x^{3} - 72 x^{2} + 64 x + 128 x - 128$

Paso 5.13

Suma $64 x$ y $128 x$ .

$8 x^{3} - 72 x^{2} + 192 x - 128$