Cálculo Ejemplos

$2 y \cos (x + y^{2})$

Paso 1

Como $2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y \cos (x + y^{2})$ con respecto a $x$ es $2 y \frac{d}{d x} [\cos (x + y^{2})]$ .

$2 y \frac{d}{d x} [\cos (x + y^{2})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = x + y^{2}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + y^{2}$ .

$2 y (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + y^{2}])$

Paso 2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$2 y (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x + y^{2}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + y^{2}$ .

$2 y (- \sin (x + y^{2}) \frac{d}{d x} [x + y^{2}])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 y (\sin (x + y^{2}) \frac{d}{d x} [x + y^{2}])$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 2 y (\sin (x + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]))$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 y (\sin (x + y^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]))$

Paso 3.4

Como $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 2 y (\sin (x + y^{2}) (1 + 0))$

Paso 3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$- 2 y (\sin (x + y^{2}) \cdot 1)$

Paso 3.5.2

Multiplica $\sin (x + y^{2})$ por $1$ .

$- 2 y \sin (x + y^{2})$