Cálculo Ejemplos

$2 x \sin (2 x + 2)$

Paso 1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x \sin (2 x + 2)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x \sin (2 x + 2)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \sin (2 x + 2)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \sin (2 x + 2)$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 2)] + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x + 2$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x + 2$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 2]) + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$2 (x (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x + 2]) + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 2$ .

$2 (x (\cos (2 x + 2) \frac{d}{d x} [2 x + 2]) + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$2 (x (\cos (2 x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2])) + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x (\cos (2 x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (x (\cos (2 x + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])) + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 (x (\cos (2 x + 2) (2 + \frac{d}{d x} [2])) + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 (x (\cos (2 x + 2) (2 + 0)) + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.6

Simplifica la expresión.

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Paso 4.6.1

Suma $2$ y $0$ .

$2 (x (\cos (2 x + 2) \cdot 2) + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x + 2)$ .

$2 (x (2 \cdot \cos (2 x + 2)) + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (x (2 \cos (2 x + 2)) + \sin (2 x + 2) \cdot 1)$

Paso 4.8

Multiplica $\sin (2 x + 2)$ por $1$ .

$2 (x (2 \cos (2 x + 2)) + \sin (2 x + 2))$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (x (2 \cos (2 x + 2))) + 2 \sin (2 x + 2)$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x \cos (2 x + 2) + 2 \sin (2 x + 2)$