Cálculo Ejemplos

$5 x^{4} + 20 x^{3}$

Paso 1

Escribe $5 x^{4} + 20 x^{3}$ como una función.

$f (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{4} + 20 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{4}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $4$ por $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $20 x^{3}$ con respecto a $x$ es $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$20 x^{3} + 20 (3 x^{2})$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $3$ por $20$ .

$f' (x) = 20 x^{3} + 60 x^{2}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $20 x^{3} + 60 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $20 x^{3}$ con respecto a $x$ es $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

Paso 2.2.2.3

Multiplica $3$ por $20$ .

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $60$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $60 x^{2}$ con respecto a $x$ es $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 x^{2} + 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$60 x^{2} + 60 (2 x)$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $2$ por $60$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} + 120 x$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $60 x^{2} + 120 x$ .

$60 x^{2} + 120 x$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $60 x^{2} + 120 x = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$60 x^{2} + 120 x = 0$

Paso 3.2

Factoriza $60 x$ de $60 x^{2} + 120 x$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $60 x$ de $60 x^{2}$ .

$60 x (x) + 120 x = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza $60 x$ de $120 x$ .

$60 x (x) + 60 x (2) = 0$

Paso 3.2.3

Factoriza $60 x$ de $60 x (x) + 60 x (2)$ .

$60 x (x + 2) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 3.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 3.5

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 3.5.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $60 x (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 2$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $0$ en $f (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 5 {(0)}^{4} + 20 {(0)}^{3}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 5 \cdot 0 + 20 {(0)}^{3}$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $5$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 20 {(0)}^{3}$

Paso 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + 20 \cdot 0$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $20$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 4.1.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 4.3

Sustituye $- 2$ en $f (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = 5 {(- 2)}^{4} + 20 {(- 2)}^{3}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$f (- 2) = 5 \cdot 16 + 20 {(- 2)}^{3}$

Paso 4.3.2.1.2

Multiplica $5$ por $16$ .

$f (- 2) = 80 + 20 {(- 2)}^{3}$

Paso 4.3.2.1.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$f (- 2) = 80 + 20 \cdot - 8$

Paso 4.3.2.1.4

Multiplica $20$ por $- 8$ .

$f (- 2) = 80 - 160$

Paso 4.3.2.2

Resta $160$ de $80$ .

$f (- 2) = - 80$

Paso 4.3.2.3

La respuesta final es $- 80$ .

$- 80$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 2$ en $f (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$ es $(- 2, - 80)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 2, - 80)$

Paso 4.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 0), (- 2, - 80)$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 2)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2.1$ en la expresión.

$f'' (- 2.1) = 60 {(- 2.1)}^{2} + 120 (- 2.1)$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 2.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 2.1) = 60 \cdot 4.41 + 120 (- 2.1)$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $60$ por $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 264.6 + 120 (- 2.1)$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $120$ por $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = 264.6 - 252$

Paso 6.2.2

Resta $252$ de $264.6$ .

$f'' (- 2.1) = 12.6$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $12.6$ .

$12.6$

Paso 6.3

En $- 2.1$ , la segunda derivada es $12.6$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, - 2)$ .

Incremento en $(- \infty, - 2)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 2, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f'' (- 1) = 60 {(- 1)}^{2} + 120 (- 1)$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1) = 60 \cdot 1 + 120 (- 1)$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $60$ por $1$ .

$f'' (- 1) = 60 + 120 (- 1)$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $120$ por $- 1$ .

$f'' (- 1) = 60 - 120$

Paso 7.2.2

Resta $120$ de $60$ .

$f'' (- 1) = - 60$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 60$ .

$- 60$

Paso 7.3

En $- 1$ , la segunda derivada es $- 60$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- 2, 0)$ .

Decrecimiento en $(- 2, 0)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.1$ en la expresión.

$f'' (0.1) = 60 {(0.1)}^{2} + 120 (0.1)$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $0.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.1) = 60 \cdot 0.01 + 120 (0.1)$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $60$ por $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.6 + 120 (0.1)$

Paso 8.2.1.3

Multiplica $120$ por $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.6 + 12$

Paso 8.2.2

Suma $0.6$ y $12$ .

$f'' (0.1) = 12.6$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $12.6$ .

$12.6$

Paso 8.3

En $0.1$ , la segunda derivada es $12.6$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 9

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(- 2, - 80), (0, 0)$ .

$(- 2, - 80), (0, 0)$

Paso 10