Cálculo Ejemplos

$36 x^{3} {(3 x^{4} + 7)}^{2}$

Paso 1

Como $36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $36 x^{3} {(3 x^{4} + 7)}^{2}$ con respecto a $x$ es $36 \frac{d}{d x} [x^{3} {(3 x^{4} + 7)}^{2}]$ .

$36 \frac{d}{d x} [x^{3} {(3 x^{4} + 7)}^{2}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = {(3 x^{4} + 7)}^{2}$ .

$36 (x^{3} \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 7)}^{2}] + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 3 x^{4} + 7$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x^{4} + 7$ .

$36 (x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 7]) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$36 (x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 7]) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x^{4} + 7$ .

$36 (x^{3} (2 (3 x^{4} + 7) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 7]) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{4} + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$36 (x^{3} (2 (3 x^{4} + 7) (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7])) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 4.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{4}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$36 (x^{3} (2 (3 x^{4} + 7) (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [7])) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$36 (x^{3} (2 (3 x^{4} + 7) (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [7])) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 4.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$36 (x^{3} (2 (3 x^{4} + 7) (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [7])) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 4.5

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$36 (x^{3} (2 (3 x^{4} + 7) (12 x^{3} + 0)) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 4.6

Simplifica la expresión.

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Paso 4.6.1

Suma $12 x^{3}$ y $0$ .

$36 (x^{3} (2 (3 x^{4} + 7) (12 x^{3})) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 4.6.2

Multiplica $12$ por $2$ .

$36 (x^{3} (24 (3 x^{4} + 7) x^{3}) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 5

Multiplica $x^{3}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1

Mueve $x^{3}$ .

$36 (x^{3} x^{3} (24 (3 x^{4} + 7)) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$36 (x^{3 + 3} (24 (3 x^{4} + 7)) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 5.3

Suma $3$ y $3$ .

$36 (x^{6} (24 (3 x^{4} + 7)) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$36 (x^{6} (24 (3 x^{4} + 7)) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} (3 x^{2}))$

Paso 7

Mueve $3$ a la izquierda de ${(3 x^{4} + 7)}^{2}$ .

$36 (x^{6} (24 (3 x^{4} + 7)) + 3 \cdot {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$36 (x^{6} (24 (3 x^{4}) + 24 \cdot 7) + 3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

Paso 8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$36 (x^{6} (24 (3 x^{4})) + x^{6} (24 \cdot 7) + 3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

Paso 8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$36 (x^{6} (24 (3 x^{4}))) + 36 (x^{6} (24 \cdot 7)) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

Paso 8.4

Combina los términos.

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Paso 8.4.1

Multiplica $3$ por $24$ .

$36 (x^{6} (72 x^{4})) + 36 (x^{6} (24 \cdot 7)) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

Paso 8.4.2

Multiplica $x^{6}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.4.2.1

Mueve $x^{4}$ .

$36 (x^{4} x^{6} \cdot 72) + 36 (x^{6} (24 \cdot 7)) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

Paso 8.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$36 (x^{4 + 6} \cdot 72) + 36 (x^{6} (24 \cdot 7)) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

Paso 8.4.2.3

Suma $4$ y $6$ .

$36 (x^{10} \cdot 72) + 36 (x^{6} (24 \cdot 7)) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

Paso 8.4.3

Mueve $72$ a la izquierda de $x^{10}$ .

$36 (72 \cdot x^{10}) + 36 (x^{6} (24 \cdot 7)) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

Paso 8.4.4

Multiplica $72$ por $36$ .

$2592 x^{10} + 36 (x^{6} (24 \cdot 7)) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

Paso 8.4.5

Multiplica $24$ por $7$ .

$2592 x^{10} + 36 (x^{6} \cdot 168) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

Paso 8.4.6

Mueve $168$ a la izquierda de $x^{6}$ .

$2592 x^{10} + 36 (168 \cdot x^{6}) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

Paso 8.4.7

Multiplica $168$ por $36$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

Paso 8.4.8

Multiplica $3$ por $36$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2}$

Paso 8.5

Reordena los términos.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} {(3 x^{4} + 7)}^{2}$

Paso 8.6

Simplifica cada término.

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Paso 8.6.1

Reescribe ${(3 x^{4} + 7)}^{2}$ como $(3 x^{4} + 7) (3 x^{4} + 7)$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} ((3 x^{4} + 7) (3 x^{4} + 7))$

Paso 8.6.2

Expande $(3 x^{4} + 7) (3 x^{4} + 7)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 8.6.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (3 x^{4} (3 x^{4} + 7) + 7 (3 x^{4} + 7))$

Paso 8.6.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (3 x^{4} (3 x^{4}) + 3 x^{4} \cdot 7 + 7 (3 x^{4} + 7))$

Paso 8.6.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (3 x^{4} (3 x^{4}) + 3 x^{4} \cdot 7 + 7 (3 x^{4}) + 7 \cdot 7)$

Paso 8.6.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 8.6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.6.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (3 \cdot 3 x^{4} x^{4} + 3 x^{4} \cdot 7 + 7 (3 x^{4}) + 7 \cdot 7)$

Paso 8.6.3.1.2

Multiplica $x^{4}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.6.3.1.2.1

Mueve $x^{4}$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (3 \cdot 3 (x^{4} x^{4}) + 3 x^{4} \cdot 7 + 7 (3 x^{4}) + 7 \cdot 7)$

Paso 8.6.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (3 \cdot 3 x^{4 + 4} + 3 x^{4} \cdot 7 + 7 (3 x^{4}) + 7 \cdot 7)$

Paso 8.6.3.1.2.3

Suma $4$ y $4$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (3 \cdot 3 x^{8} + 3 x^{4} \cdot 7 + 7 (3 x^{4}) + 7 \cdot 7)$

Paso 8.6.3.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (9 x^{8} + 3 x^{4} \cdot 7 + 7 (3 x^{4}) + 7 \cdot 7)$

Paso 8.6.3.1.4

Multiplica $7$ por $3$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (9 x^{8} + 21 x^{4} + 7 (3 x^{4}) + 7 \cdot 7)$

Paso 8.6.3.1.5

Multiplica $3$ por $7$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (9 x^{8} + 21 x^{4} + 21 x^{4} + 7 \cdot 7)$

Paso 8.6.3.1.6

Multiplica $7$ por $7$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (9 x^{8} + 21 x^{4} + 21 x^{4} + 49)$

Paso 8.6.3.2

Suma $21 x^{4}$ y $21 x^{4}$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (9 x^{8} + 42 x^{4} + 49)$

Paso 8.6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (9 x^{8}) + 108 x^{2} (42 x^{4}) + 108 x^{2} \cdot 49$

Paso 8.6.5

Simplifica.

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Paso 8.6.5.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 \cdot 9 x^{2} x^{8} + 108 x^{2} (42 x^{4}) + 108 x^{2} \cdot 49$

Paso 8.6.5.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 \cdot 9 x^{2} x^{8} + 108 \cdot 42 x^{2} x^{4} + 108 x^{2} \cdot 49$

Paso 8.6.5.3

Multiplica $49$ por $108$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 \cdot 9 x^{2} x^{8} + 108 \cdot 42 x^{2} x^{4} + 5292 x^{2}$

Paso 8.6.6

Simplifica cada término.

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Paso 8.6.6.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{8}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.6.6.1.1

Mueve $x^{8}$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 \cdot 9 (x^{8} x^{2}) + 108 \cdot 42 x^{2} x^{4} + 5292 x^{2}$

Paso 8.6.6.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 \cdot 9 x^{8 + 2} + 108 \cdot 42 x^{2} x^{4} + 5292 x^{2}$

Paso 8.6.6.1.3

Suma $8$ y $2$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 \cdot 9 x^{10} + 108 \cdot 42 x^{2} x^{4} + 5292 x^{2}$

Paso 8.6.6.2

Multiplica $108$ por $9$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 972 x^{10} + 108 \cdot 42 x^{2} x^{4} + 5292 x^{2}$

Paso 8.6.6.3

Multiplica $x^{2}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.6.6.3.1

Mueve $x^{4}$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 972 x^{10} + 108 \cdot 42 (x^{4} x^{2}) + 5292 x^{2}$

Paso 8.6.6.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 972 x^{10} + 108 \cdot 42 x^{4 + 2} + 5292 x^{2}$

Paso 8.6.6.3.3

Suma $4$ y $2$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 972 x^{10} + 108 \cdot 42 x^{6} + 5292 x^{2}$

Paso 8.6.6.4

Multiplica $108$ por $42$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 972 x^{10} + 4536 x^{6} + 5292 x^{2}$

Paso 8.7

Suma $2592 x^{10}$ y $972 x^{10}$ .

$3564 x^{10} + 6048 x^{6} + 4536 x^{6} + 5292 x^{2}$

Paso 8.8

Suma $6048 x^{6}$ y $4536 x^{6}$ .

$3564 x^{10} + 10584 x^{6} + 5292 x^{2}$