Cálculo Ejemplos

$3 x \arctan (5 x)$

Paso 1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x \arctan (5 x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x \arctan (5 x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x \arctan (5 x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \arctan (5 x)$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [\arctan (5 x)] + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2

La derivada de $\arctan (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$3 (x (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x$ .

$3 (x (\frac{1}{1 + {(5 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$3 (x (\frac{1}{1 + {(5 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.2

Combina fracciones.

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Paso 4.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1.1

Aplica la regla del producto a $5 (x)$ .

$3 (x (\frac{1}{1 + 5^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.2.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$3 (x (\frac{1}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.2.2

Combina $\frac{1}{1 + 25 x^{2}}$ y $x$ .

$3 (\frac{x}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x] + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (\frac{x}{1 + 25 x^{2}} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.4

Combina $5$ y $\frac{x}{1 + 25 x^{2}}$ .

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [x] + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} \cdot 1 + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.6

Multiplica $\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}}$ por $1$ .

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} + \arctan (5 x) \cdot 1)$

Paso 4.8

Multiplica $\arctan (5 x)$ por $1$ .

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} + \arctan (5 x))$

Paso 5

Para escribir $\arctan (5 x)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + 25 x^{2}}{1 + 25 x^{2}}$ .

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} + \frac{\arctan (5 x) (1 + 25 x^{2})}{1 + 25 x^{2}})$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 \frac{5 x + \arctan (5 x) (1 + 25 x^{2})}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 7

Combina $3$ y $\frac{5 x + \arctan (5 x) (1 + 25 x^{2})}{1 + 25 x^{2}}$ .

$\frac{3 (5 x + \arctan (5 x) (1 + 25 x^{2}))}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (5 x + \arctan (5 x) \cdot 1 + \arctan (5 x) (25 x^{2}))}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (5 x) + 3 (\arctan (5 x) \cdot 1) + 3 (\arctan (5 x) (25 x^{2}))}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 8.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{15 x + 3 (\arctan (5 x) \cdot 1) + 3 (\arctan (5 x) (25 x^{2}))}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 8.3.1.2

Multiplica $\arctan (5 x)$ por $1$ .

$\frac{15 x + 3 \arctan (5 x) + 3 (\arctan (5 x) (25 x^{2}))}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 8.3.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{15 x + 3 \arctan (5 x) + 3 (25 \arctan (5 x) x^{2})}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 8.3.1.4

Multiplica $25$ por $3$ .

$\frac{15 x + 3 \arctan (5 x) + 75 \arctan (5 x) x^{2}}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 8.3.2

Reordena los factores en $15 x + 3 \arctan (5 x) + 75 \arctan (5 x) x^{2}$ .

$\frac{15 x + 3 \arctan (5 x) + 75 x^{2} \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 8.4

Reordena los términos.

$\frac{75 x^{2} \arctan (5 x) + 15 x + 3 \arctan (5 x)}{25 x^{2} + 1}$